autoapprentissage

Pierre Cartier :

«Moi, qui ne suis pas marxiste, je vais me permettre de rappeler à Alain Badiou, qui se réclame du marxisme, qu’il a une vision trop statique, ahistorique des maths. Un seul exemple, s’il existe une internationale des maths, c’est parce que la Chine, après le Japon, s’est ralliée, il y a trente ans, au langage et à la formalisation définis en Occident. Par ailleurs, la vérité mathématique n’est pas immuable elle est faite pour être dépassée. Les maths sont le produit d’une histoire.»

Le cheminement :

«Badiou dit qu’il faut enseigner dans les mathématiques ce travail de raisonnement, car l’exemplarité mathématique est dans ce chemin. C’est vrai. Mais je pense que la démonstration n’est pas tout dans les maths. Il y a aussi la création et l’organisation de concepts nouveaux. Et la démonstration est le moyen le plus sûr d’organiser des concepts nouveaux.»

Le dépassement :

«La vérité mathématique n’est pas immuable. Certes, il n’y a pas de remise en cause, Euclide a raison si l’on s’en tient à la géométrie plane. Mais, la géométrie post-euclidienne est un dépassement. Il y a des révolutions mathématiques aussi. De temps en temps, le point de vue change. Un triangle reste un triangle, pi reste égal à 3,1415, mais on remet en cause la perception, l’organisation. Au fond, c’est de la métaphysique.»

La diffusion :

«Je ne suis pas sûr que le fossé se creuse entre les maths de monsieur Tout-le-Monde, celles de l’ingénieur et celles de la recherche la plus avancée. Ma petite fille de 4 ans s’amuse avec les nombres négatifs quand, en 1945, des ouvriers à qui je donnais des cours avaient toutes les peines du monde à les assimiler. Aujourd’hui, monsieur Tout-le-Monde sait que quand on a une dette, c’est moins quelque chose. Le but des maths est de devenir transparent au plus grand nombre et, de ce point de vue, on peut être optimiste.»

Un étrange outil.

Pierre Cartier, répondant à Badiou : la leçon de philosophie d’un mathématicien à un ‘philosophe’.

La philosophie devrait être entendue comme sophistique : réflexion sur le langage. (CF B. Cassin).

Chez les Grecs, réfléchir sur la ‘langue’ est en quelque sorte inné : leur théatre  (tragédie) en est déjà un lieu inspiré (et CF Heidegger).

Cartier dit métaphysique…

Donc : plutôt que ‘s'inspirer des maths’ (Badiou), comprendre que les mathématiques sont un exercice de philosophie.

Langage ? outil… de représentation.

Si l'outil évolue d'abord par confrontation à la pierre et au métal, le langage lui suit une voie plus intime, fruit d'une retraite de l'esprit, produit d'une forge abstraite.

Mathématiques : Parangon de l'auto-apprentissage.

Grothendieck, à l'occasion (algèbre homologique), parle de yoga.

«Les mathématiciens russes sont connus pour raisonner à partir d'exemples mais, tout le point est là, d'exemples ‘non triviaux' au point d'en devenir au contraire ‘génériques'. Le jeu consiste grosso modo à trouver le ‘premier' exemple (en ordre informel de complexité), le premier objet ‘concret' qui contienne, expose le phénomène ou la difficulté ‘générique'. Puis à se concentrer sur et raisonner à partir de ce qui apparaît bel et bien, nonobstant la contradiction in adjecto, comme un ‘exemple générique'. Qui plus est la physique demeure très rarement hors jeu, y compris dans les branches des mathématiques qui en paraissent les plus éloignées. Un bon exemple parmi bien d'autres, relativement récent (début des années quatre-vingt), est fourni par le rapport entre la diffusion quantique et l'introduction des catégories tressées (entre autres) par V.G.Drinfel'd (voir quelques détails à la fin du §6.4 ci-dessus). Il faudrait pousser les choses beaucoup plus loin mais on entrevoit déjà que le chemin qui mène de l'imaginaire vers le symbolique est très fréquenté dans ces parages.» " Mathématiques et finitude '' , P. Lochak, p121.

A quoi peut bien servir la conscience ? A jouer contre soi : jeux de langage (Wittgenstein).

Que ne doit la physique moderne aux mathématiques ?

«One should allow oneself to be led in the direction which the mathematics suggests. [...] one must follow up a mathematical idea and see what its consequences are, even though one gets led to a domain which is completely foreign to what one started with... Mathematics can lead us in a direction we would not take if we only followed up physical ideas by themselves.» Paul Dirac.

Kant a raison... sauf sur un point, essentiel : la table des catégories évolue... évidement (par symétrie !). philosophie, c'est le dl du l(angage).

Un problème n'existe que dans une théorie (langage) donnée : une question de langage. Loin d'être un objet extrinsèque ou exogène à celui-ci, il en constitue un bord. Le ‘réel’ se montre dans les termes de la théorie.

Vertu première d'un langage l : son pouvoir de généralisation.

Le langage en / pour lui-même (qua) : plutôt que se focaliser sur des problèmes spécifiques perçus comme objets extérieurs à l, le fait de raisonner sur (les propriétés, la puissance, la virtus, le caractère structuré de) l en général, comme c’est de facto - si ce n’est implicitement - le cas en mathématique,  amène à se poser des questions beaucoup plus profondes, comme avec le programme d’Erlangen, en abordant globalement la puissance de l.

«Mathematics is often thought of in the public mind as concerned with technic and performance, or with problem solving, rather than ideas, and it is perhaps for this reason that the association of mathematics with fear is common. It would be better to see mathematics not as a subject capable of a finished description and account, but as a process, involving refinement of arguments and concepts, and where new fundamental ideas are still possible, even if subject to the usual difficulties of any revolution in science. These new ideas may in fact bypass the apparent and accepted priorities for solving already formulated problems.» Brown, Porter 'Intuitions of higher dimensional algebra'.

«Another way of putting the first stage of this process is that to solve some geometric problem may require a new structures language. For the Greeks, this language was the geometry of Euclid. The most notable recent instance of success of this approach of developing a new language to solve problems is the monumental work of Alexander Grothendieck, which laid necessary foundations for the work of Andrew Wiles on Fermat's last theorem. We have a letter of Grothendieck in which he speaks of " the difficulty of bringing new concepts out of the dark ", and this suggests that he also saw as an aim for mathematics the development of language for an area, regardless of its success in a a well known problem.»  Brown, Porter, op. cit.

Mathématiques : apprentissage in vitro.

«Le rôle déterminant des symétries en physique confère à l'objectivité physique un statut très particulier, qui oppose cette objectivité à toute ontologie substantialiste d'étants singuliers et individués, existant de façon transcendante comme entités séparées. Cette vieille tradition métaphysique aristotélicienne est incompatible avec la physique moderne. L'objectivité physique est transcendantale au sens où c'est une objectivité « faible » qui inclut dans son concept d'objet les conditions d'accès et les conditions de possibilité de détermination de ses objets. Plus précisément : ce qui est accessible à la théorie, son contenu positif, y est défini négativement, c'est-à-dire par ce qui lui est inaccessible (à cause des symétries). Les symétries imposent une auto-limitation à ce que la théorie peut connaître et dire qu'elles sont constitutives, c'est dire que ce que la théorie peut connaître est déterminé par ce que la théorie ne peut pas connaître. Il s'agit là du principe de base qui disjoint l'objectivité physique de toute ontologie. On peut le qualifier de principe galoisien dans la mesure où un principe analogue a été formulé pour la première fois de façon claire par Galois dans la façon dont celui-ci a complètement repensé le problème de la résolution des équations algébriques.

Cette nature galoisienne a été excellemment soulignée par l’éminent spécialiste de géométrie symplectique et des travaux de Witten qu'est Daniel Bennequin, en particulier dans son long article en hommage à Thom : « Questions de physique galoisienne». Dire philosophiquement que l'objectivité physique est transcendantale, c'est dire techniquement qu'elle est galoisienne.» (J. Petitot)

Autocatalyse du langage : c'est bien elle qui explique ce qui émerveille Zalamea (« synthetic philosophy of contemporary mathematics ») : l'exubérante croissance conceptuelle des mathématiques modernes.

Invariance

Invariance en linguistique.

« Chacun des articles composant ce numéro double s’attache à déployer une facette d’un programme de recherche qui s’est développé autour du travail d’Antoine Culioli pour étudier les formes linguistiques au travers de leurs variations. L’une des caractéristiques de ce travail est ce parti-pris de placer les faits de variation au centre de l’étude des langues et de considérer que l’identité des entités langagières en général réside dans le détail de leur variation, dans ce qui constitue le contour de cette variation et dans ce qui l’organise. Sur ce parti-pris s’appuie le concept d’invariant : les entités langagières prises dans ces variations forment des invariants. Contrairement à ce que pourrait laisser penser le préfixe négatif in, ces invariants s’entendent moins comme une négation de la variation en question, que comme ce qui se retrouve d’une variation à l’autre ; en quelque sorte, l’invariant intègre toutes les variantes ; le décrire suppose de décrire les variations auxquelles il est soumis.
Le concept d’invariant est paradoxal, mais le programme associé est relativement simple : étant donné des formes linguistiques, il s’agit d’observer comment ces formes varient d’un emploi à l’autre – comment elles changent de valeur, comment leur distribution change (distribution syntaxique, mais aussi genre de texte, registre, type d’usage), et aussi comment elles s’échangent avec d’autres (comment elles commutent), puisque c’est bien l’une de leurs façons de varier. On observe ces données empiriques que constituent les variations auxquelles sont soumises les formes linguistiques, et on considère qu’elles sont ce qui fait l’identité de ces formes et donc ce qu’il faut décrire pour arriver à restituer cette identité dans ce qu’elle a de singulier. »
 \( https://journals.openedition.org/linx/1562\#ftn1 \)

En Anthropologie structurale.

La transformation en analyse structurale est définie comme une variation structuralement déterminée (non aléatoire) de configuration d'un phénomène collectif donné, qu'il s'agisse d'une langue, d'un récit collectif comme un mythe, de relations de parenté ou encore de rites religieux ou sacrés. Par exemple, les variantes d'un phénomène entre des peuples voisins constituent autant de transformations de ce phénomène, et ces transformations sont structuralement liées (selon une logique propre) aux différences locales entre ces peuples, chacun produisant une variante du phénomène considéré en fonction de sa propre structure sociale.
\( https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_(anthropologie_structurale) \)
peuples \( \rightarrow \) (foncteur) mythe / relation de parenté / …

Apprentissage fonctoriel.

L’approche classique consiste à disposer d’une data \( d \) et d’un ‘modèle’ (paramétré) \( m \) que l’on fit sur \( d \). En l’absence d’information, ce fit est ‘gratuit’ : rien ne permet d’en apprécier la pertinence, i.e. sa capacité à généraliser. En principe, on inclut l’hypothèse que \( d \) est représentatif pour justifier la procédure. On sait que ce résonnement est fallacieux : par exemple l’observation d’une série temporelle financière  sans fat tail \( x_0 \)  n’est généralement pas représentative. Une parade peut constituer à plonger cette série dans un ensemble plus vaste, avec l’idée que cet ensemble n’est pas exactement statistiquement homogène, mais que le ‘passage’ de la série \( x_0 \) à une série \( x_1 \) correspond à certaines réalités connues qui doivent se ‘réfléchir’ dans les `propriétés' du modèle : si celles-ci ne sont pas validées, l’emploi du modèle dans ce contexte doit être révisé. Il est fondamentalement surprenant de ne pas exploiter cette métaheuristique, qui certes suppose de fournir , outre \( d \), \(d_1,d_2,… \): un talent très humain ? CF le \textit{data grocissement} in Learning fallacy II.
Plus précisément on est ainsi amené à modéliser \( m \) comme un foncteur \( H : D \rightarrow \Omega \), et à jauger de sa pertinence en plongeant \( d \) dans une catégorie \( D \)  avec \( D_0  = d \) et \( D_i \xrightarrow{f} D_j \) (symétrie connue) et en vérifiant qu'on a bien fonctoriellement dans \( \Omega \) \(o_i  \xrightarrow{H(f)}  o_j \), avec \( o_i = H(D_i) \)  et \( o_j = H(D_j ) \) .
\( H \)  peut dépendre de \( D \) : on cherche un \( H \) tel qu’on sache quelque chose sur \( H(f) \).
Dans un contexte informationnel d’étiquettes (features, variables aléatoires) : on a un schéma \( X_z \rightarrow o_z \), où \( X \) est une (famille de) feature(s) et \( z \) est une feature vue comme un paramétrage de conditionnement – feature ou temps, et \( o \) un (ensemble de) mesure(s) statistique(s) ; on observe  les variations selon \(z\) de \(o\).\\
Cas élémentaire : supposant donnée une variable à expliquer \( Y\)  et un ensemble de variables explicatives \( X_i \) , \( z \) correspond à faire varier  (i.e. à regarder) \( Y \) dans le contexte \( X_i \)  :  \( \{ X_i \} \xrightarrow{H} \{ cor ( Y, X_i ) \} \), étant supposé qu'on a des flèches entre les \( \{ X_i \} \), qui induisent fonctoriellement des flèches entre les \( \{ cor ( Y, X_i ) \} \).

Supposons qu'on a dans  \( D \) deux classes dont on notera \( \rightarrow \) (resp. \( \vdash \) ) les morphismes intraclasses (resp. extraclasses), et que deux résultats de mesures seulement sont possibles, \( o \) et \( -o \) : on attend par exemple que si \( D_i \rightarrow D_j \), \( H(D_i) = H(D_j)=o \), et si \( D_i \vdash D_j \), \( H(D_i) = o, \space H(D_j)=-o \), simplement parce qu'on attend \( H( \rightarrow ) = id\) et \( H(\vdash) = g\) avec \( o \xrightarrow{g} -o \). Si \( H \) correspont à une mesure opérée par un système faillible, le fait de ne pas observer le résultat attendu peut amener à : douter de la mesure \( H(D_j) \), ou ... du modèle \( H \) !
Une théorie physique se jauge à sa capacité prédictive, soit son pouvoir de généralisation : on part de \( D_0  = d \) et de l'observation \( H(D_0) \), on échafaude une théorie  \( H \), qui porte à la fois sur les relations des relations dans  \( D \) avec les relations de mesures dans  \( \Omega \)  et sur les `mesures' que  \( H \) explicite. Une prédiction consiste à prendre un  \( D_i \) et à exploiter les flèches \( D_k \xrightarrow{f}  D_i \) des  \( D_k \) supposés connus vers cet objet pour prédire la mesure \( H(D_i) \), via \( H(D_k) \xrightarrow{H(f)} H(D_i) \).

text representation and summary

La recherche d’information dans un texte est une des tâches classiques du text mining.

Un résumé peut consister à mettre en avant les concepts souvent répétés dans un texte : c’est une approche en fréquence absolue.

Ou l’on peut se baser sur une distribution de référence et mettre en avant les concepts du texte relativement plus fréquents que la référence.

On peut encore itérer cette approche, et regarder les n-grams relativement plus fréquents.

Mais ces n-grams peuvent être ou non constitués de concepts accolés dans la phrase (modulo les stop words que l’on aura pris soin de retirer). En général, on peut combiner ces deux cas.

Prenons à titre d’exemple le texte de Polya bien connu, ‘How to solve it’.

Par ordre de fréquence relative par rapport à un benchmark (ici wikipédia), on a les différents concepts et leurs associations  de type \(x \rightarrow y\), là aussi dans l’ordre fréquentiel.

Par exemple \( auxiliari\_problem \rightarrow origin\_problem\) , etc.

On voit apparaitre des concepts qui sont bien connu des lecteurs de ce livre : auxiliari-problem, sign of progress, variate the problem, heuristic reasonning...

Polya donne à voir comme personne un art de la découverte qu’il n’hésite pas rapprocher des Grandes Traversées du XVe s.

Cette représentation du texte permet aussi de créer un résumé automatique, en ordonnant les phrases représentant le mieux les structures \( x_i \rightarrow Y_i=\{ Y_{j}^{i} \} \):

AUXILIARI_PROBLEM

 The auxiliary problem was, as a special case, in fact much less ambitious than the original problem

 To sum up, we used the less difficult, less ambitious, special, auxiliary problem as a stepping stone in solving the more difficult, more ambitious, general, original problem

ORIGIN_PROBLEM

 Convertible reductions are, in a certain respect, more important and more desirable than other ways to introduce auxiliary problems, but auxiliary problems which are not equivalent to the original problem may also be very useful

SIGN_PROGRESS

 The day before that memorable date on which they sighted the island of San Salvador, as the floating objects in the water became so frequent, they thought: "It looks  Signs of Progress  as if we were approaching some land”

 Our undertaking may be important or unimportant, our problem of any kind when we are working intensely, we watch eagerly for signs of progress as Columbus and his companions watched for signs of approaching land

WORK_BACKWARD

  Modern Heuristic : There are articles discussing methodical questions often important in elementary mathematics, as pappus, WORKING BACKWARDS (already quoted under 3) , reductio AD ABSURDUM AND INDIRECT PROOF, INDUCTION AND MATHEMATICAL INDUCTION, SETTING UP EQUATIONS, TEST BY DIMENSION, and WHY PROOFS

 Analysis is neatly defined by pappus, and it is a useful term, describing a typical way of devising a plan, starting from the unknown (or the conclusion) and working backwards, toward the data (or the hypothesis)

LOOK_UNKNOWN

 There are, however, questions and suggestions which are frequently helpful, as look at the unknown

 There is a suggestion that puts our finger on an essential common point: Look at the unknown

VARIAT_PROBLEM

 Variation of the problem may lead us to auxiliary ELEMENTS, or to the discovery of a more accessible auxiliary PROBLEM

 Variation of the problem may lead to some appropriate auxiliary problem: // you cannot solve the proposed problem, try to solve first some related problem

DECOMPOS_RECOMBIN

 Many questions aim at the variation of the problem by specified means, as going back to the definition, using analogy, generalization, SPECIALIZATION, DECOMPOSING AND RECOMBINING

 There are certain modes of varying the problem which are typically useful, as going back to the definition, DECOMPOSING AND RECOMBINING, introducing AUXILIARY ELEMENTS, GENERALIZATION, SPECIALIZATION, and the use of ANALOGY

USE_RESULT

 Using the result of the auxiliary problem we easily solve our original problem (we have to complete the parallelogram)

 We may use the result of the auxiliary problem

DRAW_FIGUR

 We start the detailed consideration of such a problem by drawing a figure containing the unknown and the data, all these elements being assembled as it is prescribed by the condition of the problem

HEURIST_REASON

 It is concerned with the nature of heuristic reasoning and, by extension, with a kind of reasoning which is nondemonstrative although important and which we shall call, for lack of a better term, plausible reasoning

 We could call the reasoning that underlies this kind of evidence "heuristic reasoning" or "inductive reasoning" or (if we wish to avoid stretching the meaning of existing terms) "plausible reasoning

BRIGHT_IDEA

 A sudden advance toward the solution is called a bright idea, a good idea, a happy thought, a brain-wave (in German there is a more technical term, Einfalt)

" Bright idea, or "good idea," or "seeing the light," is a colloquial expression describing a sudden advance toward the solution

SPECIAL_CASE

 This auxiliary problem is a special case of the original problem (the extreme special case in which one of the two ships is at rest)

INTRODUC_AUXILIARI_ELEMENT

 In general, having recollected a formerly solved related problem and wishing to use it for our present one, we must often ask: Should we introduce some auxiliary element in order to make its use possible

 We aim at such an effect when, thinking about the possible use of a formerly solved related problem, we ask: Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible

KNOW_RELAT_PROBLEM

 Setting a routine problem, the teacher thrusts under the nose of the student an immediate and decisive answer to the question: Do you know a related problem

 Let us go back to the situation as it presented itself at the beginning of section 10 when the question was asked: Do you know a related problem

ANALOG

 We may vary the problem by decomposing and RECOMBiNiNG its elements, or by going back to the definition of certain of its terms, or we may use the great resources of generalization, specialization, and analogy

Aller plus loin dans la compression de la représentation peut se faire en projetant Y sur \( X= \{ x_i, \; i<N \} \), i.e. en restreignant les \(Y_{j}^{k}\) aux \( x_i, \; i<N \), se souvenant que les \( x_i \) sont ordonnés selon leur fréquence relative. 

Plus précisément, on cherche les occurrences des  \(x_i \) dans chaque  \( \{Y_{j}^{k}, j<cut \} \), imposant donc que  \(x_i \) soit ‘proche’ de  \(x_k \) (dans les \( cut \) premiers \( \{ Y_{j}^{k} \}_j \) ). D’où une nouvelle table \( x_i \rightarrow Z^i = {x_k^i} \) où l’on ordonne sur \( \| Z^i \| \) : le concept \(x_0 \) est le plus ‘central’ en ce qu’il est le plus connecté.

On supprime ensuite les \( x_i \) quand ils se trouvent dans les \(  Z^k, \; i>k \). On choisit enfin de supprimer les \( x_i \) si 50% de \( Z^i \)  se trouvent dans un \( Z^k  \; i>k\). On obtient pour ‘How to solve it’ (partant de près de  1000 \(x_i \), cut = 10) :

On constate que la première thématique, ‘origin_problem’, contient 169 voisins, dont : 'auxiliari_problem',

 'use_result',

 'special_case',

 'simpler_analog_problem',

 'introduc_auxiliari',

 'less_ambiti',

 'restat',

 'devis',

 'reconsid',

 'tri',

 'step',

 'familiar',

 'simpler',

 'vari',

 'deriv',

 'easier',

 'auxiliari',

 'various',

 'combin',

 'passag',

 'modifi',

qui sont bien les voisins attendus de la thématique Variation-Comparaison.

On trouve aussi la thématique ‘sign_progress’, qui pointe sur ‘progress_achiev’, ‘approach_land’, mais aussi sur un versant  psychologique : ‘subconsci_work’, ‘suspect’, ‘mental’…

La thématique ‘part_condit’ renvoie à ‘decompos_recombin’, ‘general_special’, mais aussi sur ‘restat’, ‘tri’ qu’on retrouve dans le premier cluster ‘origin_problem’.

‘technic_term’ pointe sur ‘heuristic_reason’, ‘bright_idea’ ,’relat’.

‘auxiliari_element’ pointe sur 'auxiliari_problem', ‘variat_problem’,’analog’, ‘familiar’,  ‘relat’, et semble donc assez proche de ‘origin_problem’.

Autre cluster intéressant ‘plausibl_reason’ pointe sur 'heurist_reason', 'point_view', 'heurist_syllog', 'induct', 'infer'.

On obtient un peu plus de clusters avec cut = 5 :

Utilisant le logiciel de représentation de graphe et clustering Delphi , on retrouve essentiellement les mêmes résultats. ci dessous la partie haute puis basse du même graphe.