«Moi, qui ne suis pas marxiste, je vais me permettre de rappeler à Alain Badiou, qui se réclame du marxisme, qu’il a une vision trop statique, ahistorique des maths. Un seul exemple, s’il existe une internationale des maths, c’est parce que la Chine, après le Japon, s’est ralliée, il y a trente ans, au langage et à la formalisation définis en Occident. Par ailleurs, la vérité mathématique n’est pas immuable elle est faite pour être dépassée. Les maths sont le produit d’une histoire.»
Le cheminement :
«Badiou dit qu’il faut enseigner dans les mathématiques ce travail de raisonnement, car l’exemplarité mathématique est dans ce chemin. C’est vrai. Mais je pense que la démonstration n’est pas tout dans les maths. Il y a aussi la création et l’organisation de concepts nouveaux. Et la démonstration est le moyen le plus sûr d’organiser des concepts nouveaux.»
Le dépassement :
«La vérité mathématique n’est pas immuable. Certes, il n’y a pas de remise en cause, Euclide a raison si l’on s’en tient à la géométrie plane. Mais, la géométrie post-euclidienne est un dépassement. Il y a des révolutions mathématiques aussi. De temps en temps, le point de vue change. Un triangle reste un triangle, pi reste égal à 3,1415, mais on remet en cause la perception, l’organisation. Au fond, c’est de la métaphysique.»
La diffusion :
«Je ne suis pas sûr que le fossé se creuse entre les maths de monsieur Tout-le-Monde, celles de l’ingénieur et celles de la recherche la plus avancée. Ma petite fille de 4 ans s’amuse avec les nombres négatifs quand, en 1945, des ouvriers à qui je donnais des cours avaient toutes les peines du monde à les assimiler. Aujourd’hui, monsieur Tout-le-Monde sait que quand on a une dette, c’est moins quelque chose. Le but des maths est de devenir transparent au plus grand nombre et, de ce point de vue, on peut être optimiste.»
Un étrange outil.
Pierre Cartier, répondant à Badiou : la leçon de philosophie d’un mathématicien à un ‘philosophe’.
La philosophie devrait être entendue comme sophistique : réflexion sur le langage. (CF B. Cassin).
Chez les Grecs, réfléchir sur la ‘langue’ est en quelque sorte inné : leur théatre (tragédie) en est déjà un lieu inspiré (et CF Heidegger).
Cartier dit métaphysique…
Donc : plutôt que ‘s'inspirer des maths’ (Badiou), comprendre que les mathématiques sont un exercice de philosophie.
Langage ? outil… de représentation.
Si l'outil évolue d'abord par confrontation à la pierre et au métal, le langage lui suit une voie plus intime, fruit d'une retraite de l'esprit, produit d'une forge abstraite.
Mathématiques : Parangon de l'auto-apprentissage.
Grothendieck, à l'occasion (algèbre homologique), parle de yoga.
«Les mathématiciens russes sont connus pour raisonner à partir d'exemples mais, tout le point est là, d'exemples ‘non triviaux' au point d'en devenir au contraire ‘génériques'. Le jeu consiste grosso modo à trouver le ‘premier' exemple (en ordre informel de complexité), le premier objet ‘concret' qui contienne, expose le phénomène ou la difficulté ‘générique'. Puis à se concentrer sur et raisonner à partir de ce qui apparaît bel et bien, nonobstant la contradiction in adjecto, comme un ‘exemple générique'. Qui plus est la physique demeure très rarement hors jeu, y compris dans les branches des mathématiques qui en paraissent les plus éloignées. Un bon exemple parmi bien d'autres, relativement récent (début des années quatre-vingt), est fourni par le rapport entre la diffusion quantique et l'introduction des catégories tressées (entre autres) par V.G.Drinfel'd (voir quelques détails à la fin du §6.4 ci-dessus). Il faudrait pousser les choses beaucoup plus loin mais on entrevoit déjà que le chemin qui mène de l'imaginaire vers le symbolique est très fréquenté dans ces parages.» " Mathématiques et finitude '' , P. Lochak, p121.
A quoi peut bien servir la conscience ? A jouer contre soi : jeux de langage (Wittgenstein).
Que ne doit la physique moderne aux mathématiques ?
«One should allow oneself to be led in the direction which the mathematics suggests. [...] one must follow up a mathematical idea and see what its consequences are, even though one gets led to a domain which is completely foreign to what one started with... Mathematics can lead us in a direction we would not take if we only followed up physical ideas by themselves.» Paul Dirac.
«One should allow oneself to be led in the direction which the mathematics suggests. [...] one must follow up a mathematical idea and see what its consequences are, even though one gets led to a domain which is completely foreign to what one started with... Mathematics can lead us in a direction we would not take if we only followed up physical ideas by themselves.» Paul Dirac.
Kant a raison... sauf sur un point, essentiel : la table des catégories évolue... évidement (par symétrie !). philosophie, c'est le dl du l(angage).
Un problème n'existe que dans une théorie (langage) donnée : une question de langage. Loin d'être un objet extrinsèque ou exogène à celui-ci, il en constitue un bord. Le ‘réel’ se montre dans les termes de la théorie.
Vertu première d'un langage l : son pouvoir de généralisation.
Le langage en / pour lui-même (qua) : plutôt que se focaliser sur des problèmes spécifiques perçus comme objets extérieurs à l, le fait de raisonner sur (les propriétés, la puissance, la virtus, le caractère structuré de) l en général, comme c’est de facto - si ce n’est implicitement - le cas en mathématique, amène à se poser des questions beaucoup plus profondes, comme avec le programme d’Erlangen, en abordant globalement la puissance de l.
«Mathematics is often thought of in the public mind as concerned with technic and performance, or with problem solving, rather than ideas, and it is perhaps for this reason that the association of mathematics with fear is common. It would be better to see mathematics not as a subject capable of a finished description and account, but as a process, involving refinement of arguments and concepts, and where new fundamental ideas are still possible, even if subject to the usual difficulties of any revolution in science. These new ideas may in fact bypass the apparent and accepted priorities for solving already formulated problems.» Brown, Porter 'Intuitions of higher dimensional algebra'.
«Another way of putting the first stage of this process is that to solve some geometric problem may require a new structures language. For the Greeks, this language was the geometry of Euclid. The most notable recent instance of success of this approach of developing a new language to solve problems is the monumental work of Alexander Grothendieck, which laid necessary foundations for the work of Andrew Wiles on Fermat's last theorem. We have a letter of Grothendieck in which he speaks of " the difficulty of bringing new concepts out of the dark ", and this suggests that he also saw as an aim for mathematics the development of language for an area, regardless of its success in a a well known problem.» Brown, Porter, op. cit.
Mathématiques : apprentissage in vitro.
Un problème n'existe que dans une théorie (langage) donnée : une question de langage. Loin d'être un objet extrinsèque ou exogène à celui-ci, il en constitue un bord. Le ‘réel’ se montre dans les termes de la théorie.
Vertu première d'un langage l : son pouvoir de généralisation.
Le langage en / pour lui-même (qua) : plutôt que se focaliser sur des problèmes spécifiques perçus comme objets extérieurs à l, le fait de raisonner sur (les propriétés, la puissance, la virtus, le caractère structuré de) l en général, comme c’est de facto - si ce n’est implicitement - le cas en mathématique, amène à se poser des questions beaucoup plus profondes, comme avec le programme d’Erlangen, en abordant globalement la puissance de l.
«Mathematics is often thought of in the public mind as concerned with technic and performance, or with problem solving, rather than ideas, and it is perhaps for this reason that the association of mathematics with fear is common. It would be better to see mathematics not as a subject capable of a finished description and account, but as a process, involving refinement of arguments and concepts, and where new fundamental ideas are still possible, even if subject to the usual difficulties of any revolution in science. These new ideas may in fact bypass the apparent and accepted priorities for solving already formulated problems.» Brown, Porter 'Intuitions of higher dimensional algebra'.
«Another way of putting the first stage of this process is that to solve some geometric problem may require a new structures language. For the Greeks, this language was the geometry of Euclid. The most notable recent instance of success of this approach of developing a new language to solve problems is the monumental work of Alexander Grothendieck, which laid necessary foundations for the work of Andrew Wiles on Fermat's last theorem. We have a letter of Grothendieck in which he speaks of " the difficulty of bringing new concepts out of the dark ", and this suggests that he also saw as an aim for mathematics the development of language for an area, regardless of its success in a a well known problem.» Brown, Porter, op. cit.
Mathématiques : apprentissage in vitro.
«Le rôle déterminant des symétries en physique confère à l'objectivité physique un statut très particulier, qui oppose cette objectivité à toute ontologie substantialiste d'étants singuliers et individués, existant de façon transcendante comme entités séparées. Cette vieille tradition métaphysique aristotélicienne est incompatible avec la physique moderne. L'objectivité physique est transcendantale au sens où c'est une objectivité « faible » qui inclut dans son concept d'objet les conditions d'accès et les conditions de possibilité de détermination de ses objets. Plus précisément : ce qui est accessible à la théorie, son contenu positif, y est défini négativement, c'est-à-dire par ce qui lui est inaccessible (à cause des symétries). Les symétries imposent une auto-limitation à ce que la théorie peut connaître et dire qu'elles sont constitutives, c'est dire que ce que la théorie peut connaître est déterminé par ce que la théorie ne peut pas connaître. Il s'agit là du principe de base qui disjoint l'objectivité physique de toute ontologie. On peut le qualifier de principe galoisien dans la mesure où un principe analogue a été formulé pour la première fois de façon claire par Galois dans la façon dont celui-ci a complètement repensé le problème de la résolution des équations algébriques.
Cette nature galoisienne a été excellemment soulignée par l’éminent spécialiste de géométrie symplectique et des travaux de Witten qu'est Daniel Bennequin, en particulier dans son long article en hommage à Thom : « Questions de physique galoisienne». Dire philosophiquement que l'objectivité physique est transcendantale, c'est dire techniquement qu'elle est galoisienne.» (J. Petitot)
Autocatalyse du langage : c'est bien elle qui explique ce qui émerveille Zalamea (« synthetic philosophy of contemporary mathematics ») : l'exubérante croissance conceptuelle des mathématiques modernes.
