Je voulus ensuite représenter ces fonctions par le quotient de deux séries ; cette idée fut parfaitement consciente et réfléchie ; l’analogie avec les fonctions elliptiques me guidait. Je me demandai quelles devaient être les propriétés de ces séries, si elles existaient, et j’arrivai sans difficulté à former les séries que j’ai appelées thétafuchsiennes.
À ce moment, je quittai Caen, où j’habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l’École des Mines. Les péripéties du voyage me firent oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marche-pied, l’idée me vint, sans que rien de mes pensées antérieures parût m’y avoir préparé, que les transformations dont j’avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient identiques à celles de la géométrie non-euclidienne.
[..]
Je me mis alors à étudier des questions d’arithmétique sans grand résultat apparent et sans soupçonner que cela pût avoir le moindre rapport avec mes recherches antérieures. Dégoûté de mon insuccès, j’allai passer quelques jours au bord de la mer, et je pensai à tout autre
chose. Un jour, en me promenant sur la falaise, l’idée me vint, toujours avec les mêmes caractères de brièveté, de soudaineté et de certitude immédiate, que les transformations arithmétiques des formes
quadratiques ternaires indéfinies étaient identiques à celles de la géométrie non-euclidienne.
Étant revenu à Caen, je réfléchis sur ce résultat, et j’en tirai les
conséquences ; l’exemple des formes quadratiques me montrait qu’il y
a des groupes fuchsiens autres que ceux qui correspondent à la série
hypergéométrique ; je vis que je pouvais leur appliquer la théorie des
séries thétafuchsiennes et que, par conséquent, il existait des fonctions
fuchsiennes autres que celles qui dérivent de la série hypergéométrique, les seules que je connusse jusqu’alors. Je me proposai naturellement de former toutes ces fonctions ; j’en fis un siège systématique
et j’enlevai l’un après l’autre tous les ouvrages avancés ; il y en avait
un cependant qui tenait encore et dont la chute devait entraîner celle
du corps de place. Mais tous mes efforts ne servirent d’abord qu’à me
mieux faire connaître la difficulté, ce qui [53] était déjà quelque
chose. Tout ce travail fut parfaitement conscient.
Là-dessus, je partis pour le Mont-Valérien, où je devais faire mon
service militaire ; j’eus donc des préoccupations très différentes. Un
jour, en traversant le boulevard, la solution de la difficulté qui m’avait
arrêté m’apparut tout à coup. Je ne cherchai pas à l’approfondir immédiatement, et ce fut seulement après mon service que je repris la question. J’avais tous les éléments, je n’avais qu’à les rassembler et à les
ordonner. Je rédigeai donc mon mémoire définitif d’un trait et sans aucune peine.
[..]
La nécessité de la seconde période de travail conscient, après l’inspiration, se comprend mieux encore. Il faut mettre en œuvre les
résultats de cette inspiration, en déduire les conséquences immédiates,
les ordonner, rédiger les démonstrations, mais surtout il faut les vérifier. J’ai parlé du sentiment de certitude absolue qui accompagne
l’inspiration ; dans les cas cités, ce sentiment n’était pas trompeur, et
le plus souvent, il en est ainsi ; mais il faut se garder de croire que ce
soit une règle sans exception ; souvent ce sentiment nous trompe sans
pour cela être moins vif, et on ne s’en aperçoit que quand on cherche à
mettre la démonstration sur pied. J’ai observé surtout le fait pour les
idées qui me sont venues le matin ou le soir dans mon lit, à l’état semi-hypnagogique.
*
En mathématiques nous faisons tout à fait la même chose ; des éléments variés dont nous disposons, nous pouvons faire sortir des millions de combinaisons différentes ; mais une de ces combinaisons, tant
qu’elle est isolée, est absolument dépourvue de valeur ; nous nous
sommes souvent donné beaucoup de peine pour la construire, mais
cela ne sert absolument à rien, si ce n’est peut-être à donner un sujet
de devoir pour l’enseignement secondaire. Il en sera tout autrement le
jour où cette combinaison prendra place dans une classe de combinaisons analogues et où nous aurons remarqué cette analogie ; nous
ne serons plus en présence d’un fait, mais d’une loi. Et, ce jour-là, le
véritable inventeur, ce ne sera pas l’ouvrier qui aura patiemment édifié
quelques-unes de ces combinaisons, ce sera celui qui aura mis en évidence leur parenté. Le premier n’aura vu que le fait brut, l’autre seul
aura senti l’âme du fait. Souvent, pour affirmer cette parenté, il lui
aura suffi d’inventer un mot nouveau, et ce mot aura été créateur ;
l’histoire de la science nous fournirait une foule d’exemples qui sont
familiers à tous.
*
Parmi les combinaisons que l’on choisira, les plus fécondes seront
souvent celles qui sont formées d’éléments empruntés à des domaines
très éloignés ; et je ne veux pas dire qu’il suffise pour inventer de rapprocher des objets aussi disparates que possible ; la plupart des combinaisons qu’on formerait ainsi seraient entièrement stériles ; mais
quelques-unes d’entre elles, bien rares, sont les plus fécondes de
toutes.
*
quand une illumination subite envahit l’esprit du mathématicien, il, arrive le plus souvent qu’elle ne le trompe
pas ; mais il arrive aussi quelquefois, je l’ai dit, qu’elle ne supporte
pas l’épreuve d’une vérification ; eh bien ! on remarque presque toujours que cette idée fausse, si elle avait été juste, aurait flatté notre instinct naturel de l’élégance mathématique.
Ainsi c’est cette sensibilité esthétique spéciale, qui joue le rôle du
crible délicat dont je parlais plus haut, et cela fait comprendre assez
pourquoi celui qui en est dépourvu ne sera jamais un véritable inventeur.
*
Peut-être faut-il chercher l’explication dans cette période de travail conscient préliminaire qui précède toujours tout travail inconscient fructueux. Qu’on me permette une comparaison grossière. Représentons-nous les éléments futurs de nos combinaisons comme quelque chose de semblable aux atomes crochus d’Épicure. Pendant le repos complet de l’esprit, ces atomes sont immobiles, ils sont pour ainsi dire
accrochés au mur ; ce repos complet peut donc se prolonger indéfiniment sans que ces atomes se rencontrent, et, par conséquent, sans
qu’aucune combinaison puisse se produire entre eux.
Au contraire, pendant une période de repos apparent et de travail
inconscient, quelques-uns d’entre eux sont détachés du mur et mis en
mouvement. Ils sillonnent dans tous les sens l’espace, j’allais dire la
pièce où ils sont enfermés, comme pourrait le faire, par exemple, une
nuée de moucherons, ou, si l’on préfère, une comparaison plus savante, comme le font les molécules gazeuses dans la théorique cinétique des gaz. Leurs chocs mutuels peuvent alors produire des combinaisons nouvelles.
Quel va être le rôle du travail conscient préliminaire ? C’est évidemment de mobiliser quelques-uns de ces atomes, de les décrocher
du mur et de les mettre en branle. On croit qu’on n’a rien fait de bon
parce qu’on a remué ces éléments de mille façons diverses pour chercher à les assembler et qu’on n’a pu trouver d’assemblage satisfaisant.
Mais, après cette agitation qui leur a été imposée par notre volonté,
[61] ces atomes ne rentrent pas dans leur repos primitif. Ils continuent
librement leur danse.
Or, notre volonté ne les a pas choisis au hasard, elle poursuivait un
but parfaitement déterminé ; les atomes mobilisés ne sont donc pas
des atomes quelconques ; ce sont ceux dont on peut raisonnablement
attendre la solution cherchée. Les atomes mobilisés vont alors subir
des chocs, qui les feront entrer en combinaison, soit entre eux, soit
avec d’autres atomes restés immobiles et qu’ils seront venus heurter
dans leur course. Je demande pardon encore une fois, ma comparaison
est bien grossière ; mais je ne sais trop comment je pourrais faire comprendre autrement ma pensée.
Quoi qu’il en soit, les seules combinaisons qui ont chance de se
former, ce sont celles où l’un des éléments au moins est l’un de ces
atomes librement choisis par notre volonté. Or, c’est évidemment parmi elles que se trouve ce que j’appelais tout à l’heure la bonne combinaison. Peut-être y a-t-il là un moyen d’atténuer ce qu’il y avait de paradoxal dans l’hypothèse primitive.
*
réel mathématique :
Mais croit-on que les mathématiques aient atteint la rigueur absolue sans faire de sacrifice ? Pas du tout, ce qu’elles ont gagné en rigueur, elles l’ont perdu en objectivité. C’est en s’éloignant de la réalité qu’elles ont acquis cette pureté parfaite. On peut parcourir librement tout leur domaine, autrefois hérissé d’obstacles, mais ces obstacles n’ont pas disparu. Ils ont seulement été transportés à la frontière et il faudra les vaincre de nouveau si l’on veut franchir cette
frontière pour pénétrer dans le royaume de la pratique.
On possédait une notion vague, formée d’éléments disparates, les
uns a priori, les autres provenant d’expériences plus ou moins digérées ; on croyait en connaître, par l’intuition, les principales propriétés. Aujourd’hui on rejette les éléments empiriques en ne conservant
que les éléments a priori ; c’est l’une des propriétés qui sert de définition et toutes les autres s’en déduisent par un raisonnement rigoureux.
C’est très bien, mais il reste à prouver que cette propriété, qui est devenue une définition, appartient bien aux objets réels que l’expérience
nous avait fait connaître et d’où nous avions tiré notre vague notion
intuitive. Pour le prouver, il faudra bien en appeler à l’expérience, ou
faire un effort d’intuition, et si nous ne pouvions le prouver, nos théorèmes seraient parfaitement rigoureux, mais parfaitement inutiles.
Poincaré, in Science et méthode.
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