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Monday, 24 April 2023

NatL~MatL I : Riemann dream

La conjecture de Riemann pourrait fournir un exemple de dissolution/diffusion NatL~MatL

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Il semblerait à première vue que la vérification numérique de ce que tous les zéros jusqu’à une hauteur T de 1013 sont sur la droite critique est une forte confirmation de l’hypothèse. Mais en théorie analytique des nombres, il est souvent arrivé que des conjectures de ce genre soient réfutées, les premières exceptions se produisant pour des valeurs bien plus grandes que ce que permet de tester une approche directe, comme dans le cas de la conjecture ayant donné naissance au nombre de Skewes. Le problème vient de ce que le comportement de la fonction zêta à la hauteur T est influencé par des termes grandissant comme log log T, et tendant vers l'infini si lentement que le calcul ne permet pas de les détecter : ainsi, un terme correctif (noté généralement S(T) dans la littérature) augmenterait de 2 à chaque passage de zéros non sur la droite critique, or il se comporte en (log log T)1/2 et ne dépasse guère 3 partout où on a pu le calculer ; T devrait donc être supérieur à 1010^20 pour que l'on ait une chance, selon ce raisonnement, de voir apparaître des contre-exemples à la conjecture ; une telle hauteur est inaccessible au calcul avec nos méthodes actuelles.

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Arnaud Denjoy a donné un argument probabiliste en faveur de l'hypothèse de Riemann, basé sur la remarque selon laquelle si μ est une suite aléatoire de "1" et de "−1", alors pour tout 𝜀 > 0, les sommes partielles M(x)= ⅀n<xμ(n) (dont les valeurs sont les positions d'une marche aléatoire) satisfont presque sûrement M(x)=O(x1/2+𝜀). L'hypothèse de Riemann est équivalente à ce résultat pour la fonction de Möbius μ et pour la fonction de Mertens M correspondante ; en d'autres mots, l'hypothèse de Riemann est en un certain sens équivalente à dire que la fonction de Möbius se comporte comme une suite de tirages au sort à pile ou face, et compte tenu de la définition de cette fonction, à dire que la parité du nombre de facteurs premiers d'un entier se comporte au hasard. En théorie des nombres, des arguments de ce genre donnent souvent la bonne réponse, mais s'avèrent difficiles à rendre rigoureux, et échouent parfois, comme dans le cas du théorème de Maier.

[https://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_de_Riemann]