figures de l’économique

Tissant l’économique du même fil que celui dont nous fîmes récemment un costume au réel, imaginons que \( \lambda_1\) : consommation → production, \( \lambda_2 \) : production → consommation sont deux racines Galoisiennement indiscernables d’une équation de l’économique.


\( \lambda_1 \) : Il faut ici lire le morphisme → comme une 'causalité', un ordre : le consommateur est la raison d'être du producteur, son command-eur. Quoi de plus logique, quand il s’agissait dans les organisations primitives le plus souvent d’une seule et même personne (produisant selon ses besoins) ? c’est le récit de l’utile : ce-qui-est-produit est forcément utile. Vous achetez ce qui est utile.


\( \lambda_2 \) : (célèbre) loi de Say. Certes. Mais peut être aussi un récit du leurre. Ne s'agit il pas d’une stratégie fort commune du monde animal ? Le leurre , c’est parfois un moyen de survie (faire le mort par exemple), parfois une stratégie de prédation. Je vous appâte avec ce qui vous séduit.

donc, à chaque racine son récit:

\( \lambda_2 / \lambda_1 \) → leurre/utile

On notera que \( \lambda_2 = \lambda_1^° \) (° : 'opposé') comme \(i\) et \(-i\) pour \( x^2+1=0\).


A se demander enfin si le citoyen ne consomme pas tout autant du politique,et si donc on ne peut pas in extenso parler de figures du politique...

behavioral models

 Serge Galam propose une théorie des élections, exposée notamment dans https://arxiv.org/abs/1609.03933, qu’il tente d’appliquer parfois. Il s’est penché en particulier sur le cas de Trump en 2016, et à nouveau cette année.

L’approche adoptée est assez élégante, en ce sens qu’elle tente de produire du non trivial avec une grande économie de moyen, qui sont : 

1. l’attention portée à des symétries propre à l'émergence d’une majorité localement, et leur articulation avec une hypothèse relevant à la psychologie.

2. des symétries de types d'électeurs.

Dans le cadre de l'hypothèse 1, Galam porte en effet son attention sur les cas de groupes de tailles paire et impaires, et note que la question de la majorité se pose dans le cas impaire.

Le modèle imagine ainsi une dynamique de population, comme on peut en voir en épidémiologie. 

Cependant, autant en épidémiologie des équations comme le modèle SIR (cf https://en.m.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology) ne posent pas grande difficulté théorique, même si bien sûr il s'agit d’une approche phénoménologique assez grossière - dans la mesure où le phénomène en jeu est plus biologique que culturel ou social, autant cette approche dans un contexte de société humaine peut laisser songeur.

L’hypothèse 1 inclut l’hypothèse psychologique suivante : dans le cas impaire, la règle est celle du préjugé : il existe en effet un préjugé qui est plus favorable à l’un ou l’autre candidat.  La brisure de la symétrie de parité est donc l’occasion pour Galam d’introduire un élément clef de son modèle, cette force présumée du préjugé. Galam cite notamment : racisme, sexisme, …. Pour 2020, il mentionne surtout la peur, et voit ce préjugé de fait actionnable par les 2 candidats.

en 2. Galam brise la symétrie supposée des électeurs en introduisant des irréductibles : ceux-ci ne modifient jamais leur jugement. On peut se douter que Galam n’a pas de mal à montrer qu’une différence même faible de proportion de ce type d’électeurs en faveur de l'un ou l’autre des candidats a un gros effet sur la dynamique de l’équilibre.

Bien que le modèle soit économe d’hypothèse, on peut se demander si il l'est encore assez. Certes il a vocation à produire une non linéarité ‘minimale’. Mais il est clair que numériquement parlant, Galam ne peut en aucun cas faire de prédiction, faute de données en rapport avec ses hypothèses. Dans l'article cité, Galam conclut plutôt sur la ‘bonne’ stratégie pour Trump.

Je serais tenté de considérer que le modèle vraiment minimal dans l’esprit de Galam se résume à préjugé + irréductibilité. En effet son pari sur la ré/élection de Trump en 2016/20 porte sur son jugement sur la personnalité de Trump, qu’il perçoit exemplairement capable de produire préjugé et irréductibilité. La dynamique du modèle lui-même n’apporte a priori pas grand chose de substantiel par rapport à ces hypothèses : on pourrait en imaginer d'autres de même eau, conduisant plus ou moins au même résultat. en quelque sorte le modèle se résume à 2 symétries brisées :

                                            0 / préjugé, 0 / irréductible

(0,0) représentant un monde où les élections sont totalement non biaisés du point de vue de la dynamique proposée. L'artifice de l'irruption d'un préjugé dans les groupes impaires n'est qu’un artifice phénoménologique, certes assez commode mathématiquement, mais sans doute invérifiable empiriquement.

S'agissant de 'recommandations' stratégiques, cela devrait suffire aux candidats...

On peut d'ailleurs se demander si il ne s’agit pas surtout pour Galam de proposer un modèle ad hoc pour ‘rendre compte’ d’un vote ‘populiste’, propre à exciter [au sens physique du terme] des comportements du type de ceux dont Galam fait l’hypothèse.

En tout état de cause, Galam pose indirectement, via ce modèle de brisure de symétrie 0 / préjugé, 0 / irréductible, une question intéressante : le processus de décision collective est il biaisé négativement chez les humains ? Si biais il y a, est-il plutôt de nature irraisonné / inconscient que raisonné / objectivé ?  Autrement dit : verra t on plutôt spontanément émerger d’un processus démo-cratique des monstres [CF Forbidden Planet] plutôt que des Dieux / “amour de la sagesse” [philosophia] ? 

Un aspect probablement plus essentiel que la dynamique étudiée par Galam est l’intensité de la brisure de la symétrie 0 / préjugé.

En particulier, il y a quelques raisons d’imaginer que la peur par exemple puisse avoir un effet considérable, consistant à une polarisation complète k = 1 dans l’approche Galam. (l’état symétrique consistant en k = ½ ). autrement dit c’est la fonction

 

                                                prejudice type -> Symetry breaking intensity

qui est véritablement importante. Chez Galam, Symetry breaking intensity = |k-½ |

Une question que l’on peut encore poser est l’importance du medium de communication. 

La question prend une singulière résonance en cette année 2020 où rarement le concept de village planétaire n’a eu plus raison d’être, quand une force mimétique inouïe a fait s'aligner des politiques du monde entier, à distance de la raison scientifique.

Chez les Grecs, la peur est Pan-ique. Il s’agit d’un effet troupeau. Donc la masse m du medium importe, puisqu'elle agit comme le champ moyen perçu par l’individu : 

                                               prejudice type, m -> Symetry breaking intensity

La peur, dans un monde totalement connecté livré à lui-même, même doté d'un processus délibératif organisé, risque d'avoir un fort impact. N’est-ce encore pas ce qui a été mesuré sur les marchés financiers en Mars dernier ? 

figures du réel : Oedipe Roi

Sophocle tente de représenter [au sens même théâtrale donc] - mieux que toute la métaphysique après lui - l'ambiguïté du réel : sur le triangle ‘réel’ H(omme)/D(ieux/ivin)/L(ogos) (O est le réel) :

              H ---- L 

                 \ O / 

                    D

il faut lire le cercle comme circulation - dans les 2 sens… 

H/D : ambiguïté du spectateur(= H)/D : noter que le spectateur, en position de surplomb tout au long de la pièce, jouit d’un statut D-spectateur = H = Apollon… ambiguïté de l'auteur(=H)/D : le mot plaisir n’est utilisé que 2 fois dans le texte cité : une fois pour évoquer celui d'Apollon massacrant sa proie, une autre pour souligner l’auteur Sophocle maître des fils de son théâtre… 

ambiguïté #1 chez de Romilly : on célèbre grandeur et hauteur des personnages, mais on condamne une prétendue “impiété”... donc D et H simultanément ? 

ambiguïté #2 chez de Romilly : il y a des D, mais ‘en même temps’ il y a un destin, une ‘réalité’ [[le destin] “désigne moins une cause que le refus d'en considérer une”]. ce qui est donc ‘vraiment réel’ in fine, c’est l'Homme-Dieu H-D : le ‘héros’ sophocléen en tout point cohérents : D parce que altier, joueur relevant le défis agonistique, aventurier, explorateur, et bon perdant, même dans la pire défaite : ‘’en remonterait aux D mêmes’’ : réel/[‘réaliste’] ‘à souhait’. Et effectivement les solutions types Freud/Cocteau, des solutions bien modernes, sont des escamotages du réel… In fine, il s’agit d’une fin de non recevoir quant à la [pseudo] ‘finitude’/’réalité’ humaine, celle consistant à ‘adorer D’ et admettre qu’il n’y a pas ‘plus que ça’ / que ça fait parti du ‘jeu’ : le réel c’est H/D. 

H/L : Il faut entendre dans cette symétrie : l'homme maître du logos, ou .. l'inverse : H maître de L : Œdipe, on nous le dit assez est ‘smart’. c’est bien connu il a triomphé des hiéroglyphes du Sphinx... Œdipe enquête méticuleusement, s'acharne à trouver la ‘vérité’ [qui pourtant est … proprement sous son nez] : la méthode/enquête scientifique (cartésienne avant l’heure) Sophocle maître du dispositif dramatique [comme Hitchcock] : déjà mentionné. procès oraculaire : parole humaine et [réputée] divine à la fois : car la parole L de l'oracle est donc bien matériellement humaine... [ici il y a donc une ambiguïté fondamentale] L maître de H : tous ces héros [Œdipe, Jocaste, Déjanire...] mettent eux-mêmes en place le dispositif qui va les anéantir, en tentant de doubler le prétendu dispositif divin. Ils sont donc victimes de leur propre logos/raison. 

[quand L = Artwerk (oeuvre d’art) : [spécifiquement:] théâtre : ] [le divin théâtre] noter aussi l’abondance du terme ‘jeu’ [ds le texte de de Romilly ]... tragédie ou comédie (au seconde degré) ? jouer, c’est simuler : quoi de plus ambiguë que le jeu, qui mime le réel sans les risques attachés ? que le joueur qui va et vient entre la réalité du jeu et la conscience de sa ‘fiction’ ? un théâtre est toujours empli d’ombres : celle du spectateur, de l’auteur, des acteurs, et enfin des personnages. Simulation ou modèle ? Le théâtre modèle du ‘réel’; or quoi de plus réel qu’un modèle à l'ère scientifique ? 

L/D : on a un triangle, et on a établi H/D et H/L. On a donc L/D formellement par transitivité. [signalons brièvement que la symétrie L/D est aussi ancienne que le ‘monde’ : “au commencement était le Verbe”... Origine divine des arts et du langage dans de nombreuses civilisations (y compris américaines, CF Lévi-Strauss), ‘réalité’ des mathématiques selon Einstein etc]

[ici reprise de] procès oraculaire: qui parle ? D, ou H ? d’ailleurs le D ‘éloigné’ de de Romilly n’est ‘présent’ que via cette parole.

Le divin D théâtre L. et aussi la parole L ‘sacré’ D du théâtre/église : CF la piété D de Sophocle selon de Romilly . Au cœur de la tragédie grecque,... le Chœur : piété D faite chant L. divin D logos/raison L : qui triomphe de ‘presque’ toutes les énigmes 

#### 

Œdipe roi : récit d’une défaillance logique. A en perdre son grec. Soudainement quelque chose ne tourne plus rond. (Heureusement survient bientôt le réveil.)

*

Œdipe roi : une expérience de vacillement, comme lors d’un tremblement de terre, c’est-à-dire qu’on en perd son espace, son Da. Or perdre pied, c’est perdre le fil H-D (Seinsverlassenheit = die entflohenen Götter [GA 65]) Perdre sol / Grund / signification. Un doute (Descartes), un tremblement (Erzittern, GA 65) suffisant pour faire éclater la grande symétrie (H-L-D) : 

        H ----- L               \( \bullet \)        \( \bullet \) 

          \  O /     \( \rightsquigarrow\) 

              D                        \( \bullet \)

Qui ne trépasse réchappe. Crise, orage, aurore. 

#### Annexe : extrait de la tragédie Grecque de Jacqueline de Romilly. 

Parfois, enfin, ce n'est qu'au terme de la pièce que les héros se remémorent un oracle, enfin devenu clair : tel est le cas pour Héraclès. qui, apprenant, au moment de sa mort, que le baume magique employé par sa femme lui avait été remis par le Centaure Nessus, alors en train de mourir, s'écrie qu'à présent il comprend « Il m'avait été jadis prophétisé par mon père que je ne mourrais point par le fait d'un vivant, mais bien d'un mort, d'un hôte des enfers. Et c'est bien en effet le monstre, le Centaure, qui aura consommé la prophétie divine mort, il m'a tué vivant » (I159-I163). Imprécis, obscurs, souvent trompeurs, les oracles laissent donc place à l'espérance et à l'erreur. Et l'on peut même dire plus; car ils semblent si bien calculés pour tromper, qu'’ils suggèrent avec force que la divinité a pris plaisir à se jouer de l'homme. A cet égard, d'ailleurs, Sophocle est très proche d'Hérodote, avec qui il semble avoir été lié (1) : on ne saurait oublier, en effet, tous les oracles cités par l'historien et suscitant, presque toujours, l'embarras de ceux à qui ils sont rendus. Certains de ces oracles viennent même, comme à dessein, les entraîner vers leur perte, en suscitant en eux une fausse interprétation ; l'exemple le plus fameux en est l'oracle rendu à Crésus : cet oracle l'encouragea à entrer en guerre en lui disant que, s'il le faisait, il détruirait un vaste empire : et l'oracle disait vrai, mais cet empire était le sien (I, 53 et 91). Ce jeu de l'homme et des dieux, jalonné d'oracles propres à semer l'erreur, est, on le sait, l'idée maîtresse d'Œdipe roi. Mais il serait faux de penser qu'elle n'apparaît que là. En fait, toute la dramaturgie de Sophocle repose sur l'idée que l'homme est le jouet de ce que l'on pourrait appeler l'ironie du sort. Du point de vue technique, Sophocle a introduit dans l’action tragique la surprise et la péripétie : cela est apparu dans l'histoire même du genre ; mais ces surprises et ces péripéties prennent aussi dans le domaine des idées une signification profonde : elles montrent l'événement en train de se jouer de l'homme. Très souvent, l'homme se précipite vers sa perte par l'effort même qu'il fait pour y échapper : Déjanire cause ainsi la mort de celui qui lui est cher par la drogue qui aurait dû, selon elle, le lui attacher pour toujours. Et même lorsque les choses ne vont pas jusque-là, il y a, sans nul doute, une ironie du sort dans le fait qu'un homme s'imagine pouvoir triompher au moment précis où sa perte va être consommée. Du point de vue dramatique, le contraste avive la surprise du point de vue de la pensée, il fait ressortir de façon tragique l'aveuglement et l'ignorance de ceux qui sont ainsi trompés. Or c'est un fait que Sophocle semble avoir pris plaisir à prêter à ses chœurs des hymnes de joie juste avant le moment où surgit le désastre. On en trouve un dans les Trachiniennes, lorsque Déjanire croit encore que tout va s'arranger : le chœur se met alors à clamer la bonne nouvelle : « Car voici le fils de Zeus, voici l'enfant d'Alcmène, qui fait route vers sa demeure... »; et il ne se tient pas d'impatience : « Qu'il arrive donc, qu'il arrive ! Et que la nef si bien armée de rames qui le convoie ici ne fasse pas relâche avant qu'il ait atteint cette cité... » (633-662) : dès qu'il se tait, Déjanire entre et son premier mot est: « J'ai peur... » De fait, Héraclès arrivera bien dans sa cité - mais pour mourir. Dans Ajax, l'effet tragique est identique. Alors que le héros ne vit que pour passer d'un trait de la honte au désespoir, et du désespoir à la mort, il existe aussi un chant de joie: ce chant est celui des marins qui, trompés par ses déclarations, croient un instant que tout s'arrange. Et ce n'est qu'un cri d'allégresse : « Je frémis de désir, je m'envole de joie...» (693): ils finissent tout juste de chanter quand apparaît le messager, qui leur apprend alors quelle menace pèse sur Ajax : cent vers plus loin, Ajax est mort. De même, dans Antigone, il y a un moment où, vers la fin, le chœur croit que l'héroïne va pouvoir être sauvée : Créon vient de céder; il part; il se hâte : « C'est moi dit-il, « qui la délivrerai ». Et, là aussi, Sophocle a choisi de placer un chant du chœur impatient et joyeux, qui précède tout juste la catastrophe finale. Il invoque Dionysos : « A cette heure où notre ville entière est en proie à un mal cruel, viens à elle et, d'un pied qui lui doit porter la guérison, franchis les hauteurs du Parnasse ou le détroit gémissant. Toi qui mènes le chœur des astres enflammés, et présides aux appels qu'on lance dans la nuit, enfant, fils de Zeus, apparais, seigneur, à côté de tes servantes, au milieu de ces Thyades, dont les danses frénétiques te célèbrent toute la nuit, Iacchos le Dispensateur ! » (1140-I152) à cet instant précis entre le messager, qui, commentant le désastre qu'il s'apprête à annoncer, proclame d'abord la fragilité de tous les bonheurs humains. Le rythme même du théâtre de Sophocle, avec ses contrastes si fortement marqués, symbolise donc une certaine idée de la faiblesse de l'homme et de l'ironie du sort. C'est lorsque l'on a confiance que soudain le désastre arrive. C'est lorsque l'on veut bien faire que l'on se trouve pris au piège et que l'on suscite un désastre. L'homme ne sait rien. Et il joue en aveugle un jeu fait de surprises, presque toujours mauvaises. De fait, il y a là une sorte d'ironie tragique, dont le sens s'inscrit en clair sous les yeux des spectateurs, alors que les personnages n'en distinguent pas toujours le sens. C'est là un sens de l'ironie tragique qui est propre a Sophocle, et qui se distingue profondément de ce que l'on appelle ironie tragique chez Eschyle ou chez Euripide. Normalement, en effet, on appelle ironie tragique l'emploi par un personnage de formules à double sens que son interlocuteur n'est pas en état de comprendre, mais dont le spectateur, lui, peut saisir la portée. Quand Agamemnon entre dans le palais où Clytemnestre va le tuer, elle prononce une prière terrible par son ambiguïté même : « Zeus, Zeus par qui tout s'achève, achève mes souhaits, et songe bien à l'oeuvre que tu dois achever (Agamemnon, 973-974). De telles ambiguïtés se retrouveront à l'occasion chez Euripide. Et, lorsque Hécube s'apprête à tuer Polymestor par ruse, comme Clytemnestre tuait Agamemnon, elle emploie, elle aussi, des mots à double entente elle ne révèle pas à Polymestor qu'elle le sait assassin de son fils; elle lui dit seulement ces mots qui ne l'inquiètent pas : « Quand tu auras tout ce qu'il te faut, tu regagneras avec tes enfants le séjour que tu as réservé à mon fils » (Hécube, 1021-1022). De tels propos reposent sur l'ironie tragique - ainsi nommée parce qu'elle implique un spectateur qui assiste à l'action et soit en mesure de comprendre, ainsi nommée aussi parce que, le plus souvent, elle contient une menace de mort, implicite mais imminente. Chez Sophocle, on trouve bien des scènes de ce genre (par exemple, celle où Egisthe se félicite de voir un cadavre qu'il croit être celui d'Oreste, et où Oreste l'encourage dans cette erreur); mais, en général, l'ironie tragique a une portée autre; elle n'est pas liée au dessein d'un des personnages; elle n'implique pas que l'un dupe l'autre, qui est sa victime ignorante : elle illustre l'ignorance des hommes, dupés par les dieux eux-mêmes. C'est ainsi que, dans les Trachiniennes, le dernier mot du chant dans lequel le chœur dit sa joie est justement le nom du monstre, du Centaure, qui avait fourni la drogue destinée à devenir fatale. Il ne sait pas, ce pauvre chœur, qu'il assied son espérance sur l'être même qui va tout perdre. Et Déjanire elle-même ne savait pas ce qu'avait voulu dire ce Centaure quand il avait promis que, grâce à cette drogue, Héraclès serait atteint « au point qu'il ne pourrait ensuite lui préférer aucune autre femme qu'il voie . Les mots que cite Déjanire se retournent contre elle et la condamnent sans qu'elle le sache, Mais l'exemple le plus terrible de cette ironie tragique involontaire est fourni par la prière d'Ajax. Ajax a e dupé par Athéna, égaré par elle, perdu par elle; il ne le sait pas encore; et il la prie - devant Œdipe, qui sait, et devant les spectateurs, qui viennent de tout voir : «A toi », dit-il, « je ne demande que d'être à mes côtés toujours en alliée de la même manière » (116-117). Ulysse, qui assiste à la scène, comprend bien la portée d'une telle ironie; et, l'aveuglement d'Ajax l'amenant à faire un retour sur sa condition d'homme, il dit : « Je vois bien ce que nous sommes, nous tous qui vivons ici, rien de plus que des fantômes ou que des ombres légères . Cette distance entre les dieux et les hommes, soulignée par l'ironie tragique, est précisément la pensée qui inspire toute la tragédie d'Œdipe roi. Œdipe roi met en scène le sort d'un homme et d'une famille qui ont cru déjouer les oracles; et l'ironie tragique en commande toute la structure. Laios savait par un oracle qu'il serait tué par un fils né de lui et de Jocaste : il a donc fait exposer ce fils dès sa naissance et il s'est cru assuré de sa mort. Œdipe, d'autre part, savait qu'il serait un jour l'assassin de son père : pour éviter ce sort, il quitte la cour où il vit depuis son enfance et les parents qu'il a toujours cru être les siens. Or, en fuyant ces prétendus parents, il tombe sur son vrai père, qui n'est autre que Laios, et qu'il tue sans le connaitre. Par une belle ironie du sort, leur action à chacun a pour effet de précipiter le malheur qu'ils voulaient éviter. Mais c'est qu'Œdipe ne savait pas. Personne ne savait. Et la tragédie commence en pleine erreur, en pleine confiance. Œdipe, le déchiffreur d'énigmes, est fier de son intelligence. C'est un bon roi qui, pour sauver Thèbes, ne manque pas - ironie supplémentaire - de consulter les oracles. Et, puisque leur avis est qu'il convient de punir le meurtrier de l'ancien roi, Œdipe s'attache à découvrir ce meurtrier qui n'est autre que lui-même, Alors commence une quête tragique au terme de laquelle il saura ce qu'il est : l'assassin de son père et le meurtrier de sa mère. Cette quête commence dans la colère plus que dans l'inquiétude. Œdipe est un roi sûr de lui, qui se croit l'innocence même. Il oblige le devin à parler, mais ne veut pas croire ce qu'enfin celui-ci lui dit. Il a envoyé son beau-frère à Delphes, mais se méfie des réponses que celui-ci rapporte. Avec la même obstination que le Créon d'Antigone, il soupçonne et menace. Mais ces affrontements mêmes stimulent en lui le désir de savoir ; et l'inquiétude, sourdement, commence à cheminer en lui. Or, à ce moment, par un procédé bien caractéristique de Sophocle, Œdipe reçoit des nouvelles qui viennent le rassurer celui qu'il croit son père vient de mourir à Corinthe, et l'oracle, par conséquent, semble bien avoir menti. Jocaste et lui triomphent « Ah ! oracles divins, où êtes-vous donc à cette heure ? Ainsi voilà un homme qu'Œdipe fuyait depuis des années dans la terreur qu'il avait de le tuer, et cet homme aujourd'hui meurt frappé par le sort, et non pas par Œdipe! » (946-949). En fait, cette confiance même a quelque chose d'alarmant. Voulant achever de rassurer Œdipe, qui s'inquiète encore pour celle qu'il croit sa mère, le messager venu de Corinthe révèle à Œdipe qu'il n'est pas l'enfant de ceux qu'il croit ses parents. La menace s'est rapprochée; l'enquête s'impose; la vérité va se faire jour. Œdipe sera le dernier à l'apercevoir : il lui faut des preuves, des témoignages, qui se confirment et se rejoignent. Alors, enfin, il comprend que tout ce qu'il a fait pour échapper à l'oracle a eu pour résultat d'amener sa réalisation. Il reconnaît qu'il a été joué : « Hélas ! hélas! ainsi tout à la fin serait vrai ! » Il ne lui reste plus qu'à se crever les yeux pour ne plus voir ce monde où il n'a plus de place. Il ne verra plus et ne veut plus être vu. Quant à Jocaste, elle s'est pendue. La pièce, par la perfection de l'ironie qui en commande le développement, devait rester, pour les siècles à venir. le symbole de la façon dont le destin se moque de l'homme. Et l'on ne peut s'empêcher de penser à ce qu'écrivait Jean Cocteau en manière d'introduction à l'adaptation qu'il a faite de la pièce et qu'il a appelée La machine infernale: “Regarde, spectateur, remontée à bloc, de telle sorte que le ressort se déroule avec lenteur tout le long d'une vie humaine, une des plus parfaites machines construites par les dieux infernaux pour l'anéantissement mathématique d'un mortel.” De fait, Œdipe roi demeure l'exemple type dont on s'est servi pour montrer comment toute action humaine peut se retourner contre celui qui en est l'auteur. Et c'est en grande partie à cause d'Œdipe roi que l'on n'a jamais cessé de parler du rôle du destin ou de la fatalité dans le théâtre grec. Cependant, précisément parce que le type de tragique exprimé par cette pièce a revêtu une telle importance, il importe de voir d'un peu plus près ce qu'il signifiait pour Sophocle. Car Sophocle n'est pas Cocteau. Et s'il est vrai que Sophocle a toujours été fortement sensible à l'idée de l'impuissance de l'homme et des ironies du sort, il n'en a nullement tiré l'espèce de révolte amère qui, aux yeux des modernes, s'allie le plus souvent à cette idée. Et tout d'abord, avant de définir l'attitude de Sophocle à l'égard du sort fait à Œdipe, il faut évidemment tenir compte du fait que, bien des années après Œdipe roi il a tenu à écrire une autre pièce sur Œdipe, qui prolonge la première et, en un sens, la rectifie. Œdipe à Colone, pièce posthume, ne fut jouée qu'en 40 Elle représente la fin du vieil Œdipe. Et le mouvement en est exactement inverse à celui d'Œdipe roi. (...) De fait tous les commentaires faits au cours de la pièce sur le sort d'Œdipe consistent à y voir une illustration éclatante de l'instabilité pesant sur les hommes en général ; aucun ne met en cause une volonté particulière visant un homme particulier, aucun ne cherche une cause par-delà les effets : le destin n'est vu que sous l'angle de l'ignorance humaine ; et il désigne moins une cause que le refus d'en considérer une. Ainsi s'explique que la souveraineté du destin puisse ne s'accompagner d'aucune révolte. Au contraire, la connaissance de la faiblesse de l'homme laisse place, chez Sophocle, à une double confiance, dans l'homme et dans les dieux. Le destin n'étant pas une condamnation délibérée, l'homme n'en tire pas l'idée qu'il n'a qu'à laisser faire. Ce qui lui arrive constitue une épreuve; mais il lui reste encore à définir sa valeur dans la façon dont il réagit à cette épreuve. Il peut, dans l'adversité, choisir la voie la plus haute comme font Antigone et Electre, comme fait Ajax, pourtant acculé au désespoir. Et si rien ne reste à espérer, il y a encore une haute dignité à se retrancher soi-même du monde. C'est ce que font bien des héroïnes silencieuses, qui partent se tuer sans un mot de plainte - comme Déjanire, comme Jocaste, comme Eurydice. C'est aussi ce que fait Ajax, avec plus d'éclat. Et, d'une certaine façon, c'est ce que fait Œdipe, en se crevant les yeux. Quand la vie est devenue trop sombre, il n'est plus de joie que dans l'obscurité; et le geste d'Œdipe rappelle le cri d'Ajax : « Ah! Ténèbres, mon soleil à moi; Erèbe, pour moi plein d'éclat ! Prenez-moi, prenez-moi, je veux vivre chez vous, prenez-moi! » (394- 397). Même le désespoir des héros, chez Sophocle, garde une noblesse altière qui leur permet de triompher alors qu'ils sont abattus. Mais cette foi dans l'homme n'est possible que parce que les ironies du sort n'impliquent en aucune façon que les dieux soient cruels ou même indifférents. Sophocle ne conclut pas de tant de malheurs et de retournements qu'il sied de se révolter et de protester : sa conclusion est au contraire que l'on ne saurait jamais se montrer assez respectueux des dieux ni assez pieux. La façon même dont les oracles finissent toujours par se réaliser invite à s'incliner devant la souveraineté divine. Les hommes n'ont pas à comprendre, mais à adorer. Ceux qui s'en prennent aux devins - comme Créon ou bien Œdipe - et ceux qui doutent des oracles comme Jocaste - paient bientôt cette irrévérence de quelque revers éclatant. Le chœur d'ailleurs se garde de s'associer à de tels doutes. Sophocle l'a marqué dans Œdipe roi, en montrant que le chœur est choqué et inquiet « Ah ! Zeus souverain, puisque, si ton renom dit vrai, tu es maître de l'Univers, ne permets pas qu'elles échappent (ces pratiques d'impiété) à tes regards, à ta puissance éternelle. Ainsi donc on tient pour caducs et l'on prétend abolir les oracles rendus à l'antique Laios! Apollon se voit privé ouvertement de tout honneur. Le respect des dieux s'en va » (903-910). Et la pièce s'achève par une nouvelle consultation de l'oracle, dans lequel OEdipe affirme sa foi et place le peu qui lui reste de confiance et d'espérance. Sophocle, on le sait, était pieux. La tradition nous dit qu’il exerçait à Athènes des fonctions religieuses; et il semble avoir été un des introducteurs du culte d'Asclépios, pour qui il avait écrit un péan. Il n'est donc pas étonnant que le reflet de cette piété se fasse sentir dans son oeuvre. Et tous les revirements qui traversent la vie humaine ne lui font qu'évoquer avec plus de nostalgie l'éclat de la vie bienheureuse que mènent les dieux loin de nous. Cet aspect de la pensée de Sophocle explique que son théâtre puisse concilier une acuité dramatique aussi grande avec une sorte de sérénité chaleureuse et confiante, Il n'est pas de théâtre où l'on trouve autant d'innocents écrasés et détruits. Il n'est pas de théâtre où s'expriment autant de souffrances, physiques ou morales. Et pourtant c'est un théâtre qui fait admirer l'homme et aimer la vie. On y admire l'homme en la personne des héros qui poussent si loin le courage; on y aime la vie où chacun s'efforce d'agir pour le mieux. Et ces deux sentiments sont encore raffermis par les chants du choeur. Ceux-ci sont larges, libres, et exaltent la beauté. Pour ce qui est d'admirer l'homme - l'homme en général, la créature humaine aucun texte n'est comparable au grand chant d'Antigone sur les conquêtes de la civilisation : « Il est bien des merveilles en ce monde, il n'en est pas de plus grande que l'homme » (332 sqq.); la navigation, le labour, la victoire sur les oiseaux dans les airs, sur les animaux sur la terre, la parole, la pensée, les cités, tout est passé en revue « Tout cela, il se l'est enseigné à lui-même. » Et le texte finit, dans un souci bien digne de Sophocle, par une réserve sur l'usage, bon ou mauvais, que l'homme peut faire de ses dons ; mais cette réserve n'ôte rien au souvenir de tout ce qui précède et qui sonne comme un ample chant de victoire. Et pour ce qui est d'aimer la vie, comment ne pas rappeler un autre chant non moins célèbre, évoqué plus haut à propos de sa biographie celui où il célèbre la beauté de l'Attique « En ce pays de bons chevaux, tu as rencontré, étranger, le plus beau séjour de la terre. C'est ici la blanche Colone, où l'harmonieux rossignol plus qu'ailleurs se plaît à chanter... » Par un trait remarquable, ce chant est inséré dans Œdipe à Colone (668 sqq.), c'est-à-dire dans une pièce consacrée à l'homme le plus maltraité de tous par le destin, et dans une pièce écrite par un homme de près de quatre-vingt-dix ans. Cette combinaison d'une philosophie si sombre avec une foi si vivace en l'homme et en la vie distingue à jamais le théâtre de Sophocle de toutes les œuvres modernes, qui s'en sont inspirées en le durcissant, et qui, pour cette raison, n'atteignent jamais au même éclat.

tdkg algebra

On motive ici une approche conceptuelle structurée tdkg qui partage quelques traits communs avec une algèbre.

Objectif :

1.       Sémantique : mettre au cœur de la représentation les concepts clefs de l’utilisateur

2.       Réduction dimensionnelle / compression

3.       Désambiguation

4.       Polymorphisme

On distingue les niveaux 0,1,2,…, < est la relation d’ordre associée.

Le 1. force l’utilisateur à définir les ‘features’ clefs qu’il souhaite voir constituer l’ossature sémantique de sa représentation conceptuelle. Dès lors il se contraint à ne plus utiliser que ce ‘petit’ nb de features pour sa représentation. On a bien-sur ce principe en théorie des types (en informatique) : on a le type entier ℕ, les fonctions de ℕ->ℕ, les fonctions de 2 variables  ℕ->ℕ->ℕ, etc. dans notre notation ℕ_ℕ_ℕ).

On retrouve une capacité générative/compositionnelle dans toutes les langues : géo_graphie, re_con_struction, auto_nomie, anthropo_logie, camion_citerne, etc. En générale il y a un ordre : a_b \( \ne \) b_a

Dans tdkg on trouve par exemple : cloud < N_(comput + storage_data)

Idéalement on aimerait pouvoir avoir ab < a_b, comme dans ab = ‘artificial intelligence’. Bien entendu c’est impossible la plupart du temps (et c’est bien la raison d’être de tdkg!). typiquement intelligence recouvre plusieurs sens en anglais, et de nombreux mots du jargon technophile ont le même sens que artificial : virtual/ai/autonom, comme dans ‘virtual assistant’. De ce fait, même si a et b sont des concepts typés de tdkg, dc a :A, b :B, on aura pas en général ab < a_b. si on a effectivement ab < a_b, c’est parce que le sens de a et b dans ab correspond au sens de a_b, comme par exemple dans tdkg: renewable energy < renew_energy.

 

Le 2. passe par une structuration de type a_b_c pour les concepts haut niveau, où a :A (‘a de type A’), b :B,… Il est clair que si #A = n, #B=m, etc, on a accès à un ensemble de concept de taille n*m*…

Le choix des set A, B, doit être fait avec soin et correspondre à la représentation cherchée. Dans tddic on distingue des niveaux d’innovation, et de ce point de vue on a un ordre A>B>… par exemple dans N_storage_data on considère que storage ‘opère’ sur data, et N sur storage_data. N est une fonction abstraite qui correspond à ‘parallélisation / coopération à l’échelle’.

 

Le 3. doit être un soucis constant, à mi-chemin entre granularité/pouvoir expressif et compression ; ex : supply chain < supply_chain ?, artificial intelligence < artificial_intelligence ? Chain et intelligence (en anglais) recouvre chacun plusieurs sens, il convient de lever les ambiguïtés dès le niveau 1.

 

Le 4 permet d’aller au-delà des contraintes très fortes des structures d’arbre (ex : Gics, Revere). Dans tdkg on a par exemple cloud < (N_comput , N_storage_data). Cette propriété très utile est bien entendu présente dans un graphe.

Au total cette structuration permet de garder le polymorphisme d’un graphe mais d’avoir une forte structure qui facilite considérablement l’utilisation par rapport à un graphe.

 

Examinons qq exemples, partant du niveau 1.

formal_language_natural_language [computational linguistics] : (formal_language)_(natural_language ) la notion de computational dans ‘computational linguistics’ n’est pas forcément inintéressante, mais ici nous privilégions la notion de formalisation. Si nécessaire, on peut (en utilisant la possibilité de polymorphisme), ajouter  comput_language.

artificial_intelligence_tutoring  [intelligent tutoring system]: intelligence dans tdkg est au sens du français intelligence, et non au sens d’information  /renseignement. tdkg conserve artificial et le distingue d’automat.

chemical reaction_elec_hydrogen [electrolysis] : ici chemical reaction est une relation qui lie réactant et produit de la réaction chimique : elec -> hydrogen. Dans tdkg les concepts elec et hydrogen sont des concepts importants de sustain, et on voit tout l’intérêt de substituer à electrolysis le ‘produit’ : elec_hydrogen.

autoapprentissage

Pierre Cartier :

«Moi, qui ne suis pas marxiste, je vais me permettre de rappeler à Alain Badiou, qui se réclame du marxisme, qu’il a une vision trop statique, ahistorique des maths. Un seul exemple, s’il existe une internationale des maths, c’est parce que la Chine, après le Japon, s’est ralliée, il y a trente ans, au langage et à la formalisation définis en Occident. Par ailleurs, la vérité mathématique n’est pas immuable elle est faite pour être dépassée. Les maths sont le produit d’une histoire.»

Le cheminement :

«Badiou dit qu’il faut enseigner dans les mathématiques ce travail de raisonnement, car l’exemplarité mathématique est dans ce chemin. C’est vrai. Mais je pense que la démonstration n’est pas tout dans les maths. Il y a aussi la création et l’organisation de concepts nouveaux. Et la démonstration est le moyen le plus sûr d’organiser des concepts nouveaux.»

Le dépassement :

«La vérité mathématique n’est pas immuable. Certes, il n’y a pas de remise en cause, Euclide a raison si l’on s’en tient à la géométrie plane. Mais, la géométrie post-euclidienne est un dépassement. Il y a des révolutions mathématiques aussi. De temps en temps, le point de vue change. Un triangle reste un triangle, pi reste égal à 3,1415, mais on remet en cause la perception, l’organisation. Au fond, c’est de la métaphysique.»

La diffusion :

«Je ne suis pas sûr que le fossé se creuse entre les maths de monsieur Tout-le-Monde, celles de l’ingénieur et celles de la recherche la plus avancée. Ma petite fille de 4 ans s’amuse avec les nombres négatifs quand, en 1945, des ouvriers à qui je donnais des cours avaient toutes les peines du monde à les assimiler. Aujourd’hui, monsieur Tout-le-Monde sait que quand on a une dette, c’est moins quelque chose. Le but des maths est de devenir transparent au plus grand nombre et, de ce point de vue, on peut être optimiste.»

Un étrange outil.

Pierre Cartier, répondant à Badiou : la leçon de philosophie d’un mathématicien à un ‘philosophe’.

La philosophie devrait être entendue comme sophistique : réflexion sur le langage. (CF B. Cassin).

Chez les Grecs, réfléchir sur la ‘langue’ est en quelque sorte inné : leur théatre  (tragédie) en est déjà un lieu inspiré (et CF Heidegger).

Cartier dit métaphysique…

Donc : plutôt que ‘s'inspirer des maths’ (Badiou), comprendre que les mathématiques sont un exercice de philosophie.

Langage ? outil… de représentation.

Si l'outil évolue d'abord par confrontation à la pierre et au métal, le langage lui suit une voie plus intime, fruit d'une retraite de l'esprit, produit d'une forge abstraite.

Mathématiques : Parangon de l'auto-apprentissage.

Grothendieck, à l'occasion (algèbre homologique), parle de yoga.

«Les mathématiciens russes sont connus pour raisonner à partir d'exemples mais, tout le point est là, d'exemples ‘non triviaux' au point d'en devenir au contraire ‘génériques'. Le jeu consiste grosso modo à trouver le ‘premier' exemple (en ordre informel de complexité), le premier objet ‘concret' qui contienne, expose le phénomène ou la difficulté ‘générique'. Puis à se concentrer sur et raisonner à partir de ce qui apparaît bel et bien, nonobstant la contradiction in adjecto, comme un ‘exemple générique'. Qui plus est la physique demeure très rarement hors jeu, y compris dans les branches des mathématiques qui en paraissent les plus éloignées. Un bon exemple parmi bien d'autres, relativement récent (début des années quatre-vingt), est fourni par le rapport entre la diffusion quantique et l'introduction des catégories tressées (entre autres) par V.G.Drinfel'd (voir quelques détails à la fin du §6.4 ci-dessus). Il faudrait pousser les choses beaucoup plus loin mais on entrevoit déjà que le chemin qui mène de l'imaginaire vers le symbolique est très fréquenté dans ces parages.» " Mathématiques et finitude '' , P. Lochak, p121.

A quoi peut bien servir la conscience ? A jouer contre soi : jeux de langage (Wittgenstein).

Que ne doit la physique moderne aux mathématiques ?

«One should allow oneself to be led in the direction which the mathematics suggests. [...] one must follow up a mathematical idea and see what its consequences are, even though one gets led to a domain which is completely foreign to what one started with... Mathematics can lead us in a direction we would not take if we only followed up physical ideas by themselves.» Paul Dirac.

Kant a raison... sauf sur un point, essentiel : la table des catégories évolue... évidement (par symétrie !). philosophie, c'est le dl du l(angage).

Un problème n'existe que dans une théorie (langage) donnée : une question de langage. Loin d'être un objet extrinsèque ou exogène à celui-ci, il en constitue un bord. Le ‘réel’ se montre dans les termes de la théorie.

Vertu première d'un langage l : son pouvoir de généralisation.

Le langage en / pour lui-même (qua) : plutôt que se focaliser sur des problèmes spécifiques perçus comme objets extérieurs à l, le fait de raisonner sur (les propriétés, la puissance, la virtus, le caractère structuré de) l en général, comme c’est de facto - si ce n’est implicitement - le cas en mathématique,  amène à se poser des questions beaucoup plus profondes, comme avec le programme d’Erlangen, en abordant globalement la puissance de l.

«Mathematics is often thought of in the public mind as concerned with technic and performance, or with problem solving, rather than ideas, and it is perhaps for this reason that the association of mathematics with fear is common. It would be better to see mathematics not as a subject capable of a finished description and account, but as a process, involving refinement of arguments and concepts, and where new fundamental ideas are still possible, even if subject to the usual difficulties of any revolution in science. These new ideas may in fact bypass the apparent and accepted priorities for solving already formulated problems.» Brown, Porter 'Intuitions of higher dimensional algebra'.

«Another way of putting the first stage of this process is that to solve some geometric problem may require a new structures language. For the Greeks, this language was the geometry of Euclid. The most notable recent instance of success of this approach of developing a new language to solve problems is the monumental work of Alexander Grothendieck, which laid necessary foundations for the work of Andrew Wiles on Fermat's last theorem. We have a letter of Grothendieck in which he speaks of " the difficulty of bringing new concepts out of the dark ", and this suggests that he also saw as an aim for mathematics the development of language for an area, regardless of its success in a a well known problem.»  Brown, Porter, op. cit.

Mathématiques : apprentissage in vitro.

«Le rôle déterminant des symétries en physique confère à l'objectivité physique un statut très particulier, qui oppose cette objectivité à toute ontologie substantialiste d'étants singuliers et individués, existant de façon transcendante comme entités séparées. Cette vieille tradition métaphysique aristotélicienne est incompatible avec la physique moderne. L'objectivité physique est transcendantale au sens où c'est une objectivité « faible » qui inclut dans son concept d'objet les conditions d'accès et les conditions de possibilité de détermination de ses objets. Plus précisément : ce qui est accessible à la théorie, son contenu positif, y est défini négativement, c'est-à-dire par ce qui lui est inaccessible (à cause des symétries). Les symétries imposent une auto-limitation à ce que la théorie peut connaître et dire qu'elles sont constitutives, c'est dire que ce que la théorie peut connaître est déterminé par ce que la théorie ne peut pas connaître. Il s'agit là du principe de base qui disjoint l'objectivité physique de toute ontologie. On peut le qualifier de principe galoisien dans la mesure où un principe analogue a été formulé pour la première fois de façon claire par Galois dans la façon dont celui-ci a complètement repensé le problème de la résolution des équations algébriques.

Cette nature galoisienne a été excellemment soulignée par l’éminent spécialiste de géométrie symplectique et des travaux de Witten qu'est Daniel Bennequin, en particulier dans son long article en hommage à Thom : « Questions de physique galoisienne». Dire philosophiquement que l'objectivité physique est transcendantale, c'est dire techniquement qu'elle est galoisienne.» (J. Petitot)

Autocatalyse du langage : c'est bien elle qui explique ce qui émerveille Zalamea (« synthetic philosophy of contemporary mathematics ») : l'exubérante croissance conceptuelle des mathématiques modernes.

Invariance

Invariance en linguistique.

« Chacun des articles composant ce numéro double s’attache à déployer une facette d’un programme de recherche qui s’est développé autour du travail d’Antoine Culioli pour étudier les formes linguistiques au travers de leurs variations. L’une des caractéristiques de ce travail est ce parti-pris de placer les faits de variation au centre de l’étude des langues et de considérer que l’identité des entités langagières en général réside dans le détail de leur variation, dans ce qui constitue le contour de cette variation et dans ce qui l’organise. Sur ce parti-pris s’appuie le concept d’invariant : les entités langagières prises dans ces variations forment des invariants. Contrairement à ce que pourrait laisser penser le préfixe négatif in, ces invariants s’entendent moins comme une négation de la variation en question, que comme ce qui se retrouve d’une variation à l’autre ; en quelque sorte, l’invariant intègre toutes les variantes ; le décrire suppose de décrire les variations auxquelles il est soumis.
Le concept d’invariant est paradoxal, mais le programme associé est relativement simple : étant donné des formes linguistiques, il s’agit d’observer comment ces formes varient d’un emploi à l’autre – comment elles changent de valeur, comment leur distribution change (distribution syntaxique, mais aussi genre de texte, registre, type d’usage), et aussi comment elles s’échangent avec d’autres (comment elles commutent), puisque c’est bien l’une de leurs façons de varier. On observe ces données empiriques que constituent les variations auxquelles sont soumises les formes linguistiques, et on considère qu’elles sont ce qui fait l’identité de ces formes et donc ce qu’il faut décrire pour arriver à restituer cette identité dans ce qu’elle a de singulier. »
 \( https://journals.openedition.org/linx/1562\#ftn1 \)

En Anthropologie structurale.

La transformation en analyse structurale est définie comme une variation structuralement déterminée (non aléatoire) de configuration d'un phénomène collectif donné, qu'il s'agisse d'une langue, d'un récit collectif comme un mythe, de relations de parenté ou encore de rites religieux ou sacrés. Par exemple, les variantes d'un phénomène entre des peuples voisins constituent autant de transformations de ce phénomène, et ces transformations sont structuralement liées (selon une logique propre) aux différences locales entre ces peuples, chacun produisant une variante du phénomène considéré en fonction de sa propre structure sociale.
\( https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_(anthropologie_structurale) \)
peuples \( \rightarrow \) (foncteur) mythe / relation de parenté / …

Apprentissage fonctoriel.

L’approche classique consiste à disposer d’une data \( d \) et d’un ‘modèle’ (paramétré) \( m \) que l’on fit sur \( d \). En l’absence d’information, ce fit est ‘gratuit’ : rien ne permet d’en apprécier la pertinence, i.e. sa capacité à généraliser. En principe, on inclut l’hypothèse que \( d \) est représentatif pour justifier la procédure. On sait que ce résonnement est fallacieux : par exemple l’observation d’une série temporelle financière  sans fat tail \( x_0 \)  n’est généralement pas représentative. Une parade peut constituer à plonger cette série dans un ensemble plus vaste, avec l’idée que cet ensemble n’est pas exactement statistiquement homogène, mais que le ‘passage’ de la série \( x_0 \) à une série \( x_1 \) correspond à certaines réalités connues qui doivent se ‘réfléchir’ dans les `propriétés' du modèle : si celles-ci ne sont pas validées, l’emploi du modèle dans ce contexte doit être révisé. Il est fondamentalement surprenant de ne pas exploiter cette métaheuristique, qui certes suppose de fournir , outre \( d \), \(d_1,d_2,… \): un talent très humain ? CF le \textit{data grocissement} in Learning fallacy II.
Plus précisément on est ainsi amené à modéliser \( m \) comme un foncteur \( H : D \rightarrow \Omega \), et à jauger de sa pertinence en plongeant \( d \) dans une catégorie \( D \)  avec \( D_0  = d \) et \( D_i \xrightarrow{f} D_j \) (symétrie connue) et en vérifiant qu'on a bien fonctoriellement dans \( \Omega \) \(o_i  \xrightarrow{H(f)}  o_j \), avec \( o_i = H(D_i) \)  et \( o_j = H(D_j ) \) .
\( H \)  peut dépendre de \( D \) : on cherche un \( H \) tel qu’on sache quelque chose sur \( H(f) \).
Dans un contexte informationnel d’étiquettes (features, variables aléatoires) : on a un schéma \( X_z \rightarrow o_z \), où \( X \) est une (famille de) feature(s) et \( z \) est une feature vue comme un paramétrage de conditionnement – feature ou temps, et \( o \) un (ensemble de) mesure(s) statistique(s) ; on observe  les variations selon \(z\) de \(o\).\\
Cas élémentaire : supposant donnée une variable à expliquer \( Y\)  et un ensemble de variables explicatives \( X_i \) , \( z \) correspond à faire varier  (i.e. à regarder) \( Y \) dans le contexte \( X_i \)  :  \( \{ X_i \} \xrightarrow{H} \{ cor ( Y, X_i ) \} \), étant supposé qu'on a des flèches entre les \( \{ X_i \} \), qui induisent fonctoriellement des flèches entre les \( \{ cor ( Y, X_i ) \} \).

Supposons qu'on a dans  \( D \) deux classes dont on notera \( \rightarrow \) (resp. \( \vdash \) ) les morphismes intraclasses (resp. extraclasses), et que deux résultats de mesures seulement sont possibles, \( o \) et \( -o \) : on attend par exemple que si \( D_i \rightarrow D_j \), \( H(D_i) = H(D_j)=o \), et si \( D_i \vdash D_j \), \( H(D_i) = o, \space H(D_j)=-o \), simplement parce qu'on attend \( H( \rightarrow ) = id\) et \( H(\vdash) = g\) avec \( o \xrightarrow{g} -o \). Si \( H \) correspont à une mesure opérée par un système faillible, le fait de ne pas observer le résultat attendu peut amener à : douter de la mesure \( H(D_j) \), ou ... du modèle \( H \) !
Une théorie physique se jauge à sa capacité prédictive, soit son pouvoir de généralisation : on part de \( D_0  = d \) et de l'observation \( H(D_0) \), on échafaude une théorie  \( H \), qui porte à la fois sur les relations des relations dans  \( D \) avec les relations de mesures dans  \( \Omega \)  et sur les `mesures' que  \( H \) explicite. Une prédiction consiste à prendre un  \( D_i \) et à exploiter les flèches \( D_k \xrightarrow{f}  D_i \) des  \( D_k \) supposés connus vers cet objet pour prédire la mesure \( H(D_i) \), via \( H(D_k) \xrightarrow{H(f)} H(D_i) \).

text representation and summary

La recherche d’information dans un texte est une des tâches classiques du text mining.

Un résumé peut consister à mettre en avant les concepts souvent répétés dans un texte : c’est une approche en fréquence absolue.

Ou l’on peut se baser sur une distribution de référence et mettre en avant les concepts du texte relativement plus fréquents que la référence.

On peut encore itérer cette approche, et regarder les n-grams relativement plus fréquents.

Mais ces n-grams peuvent être ou non constitués de concepts accolés dans la phrase (modulo les stop words que l’on aura pris soin de retirer). En général, on peut combiner ces deux cas.

Prenons à titre d’exemple le texte de Polya bien connu, ‘How to solve it’.

Par ordre de fréquence relative par rapport à un benchmark (ici wikipédia), on a les différents concepts et leurs associations  de type \(x \rightarrow y\), là aussi dans l’ordre fréquentiel.

Par exemple \( auxiliari\_problem \rightarrow origin\_problem\) , etc.

On voit apparaitre des concepts qui sont bien connu des lecteurs de ce livre : auxiliari-problem, sign of progress, variate the problem, heuristic reasonning...

Polya donne à voir comme personne un art de la découverte qu’il n’hésite pas rapprocher des Grandes Traversées du XVe s.

Cette représentation du texte permet aussi de créer un résumé automatique, en ordonnant les phrases représentant le mieux les structures \( x_i \rightarrow Y_i=\{ Y_{j}^{i} \} \):

AUXILIARI_PROBLEM

 The auxiliary problem was, as a special case, in fact much less ambitious than the original problem

 To sum up, we used the less difficult, less ambitious, special, auxiliary problem as a stepping stone in solving the more difficult, more ambitious, general, original problem

ORIGIN_PROBLEM

 Convertible reductions are, in a certain respect, more important and more desirable than other ways to introduce auxiliary problems, but auxiliary problems which are not equivalent to the original problem may also be very useful

SIGN_PROGRESS

 The day before that memorable date on which they sighted the island of San Salvador, as the floating objects in the water became so frequent, they thought: "It looks  Signs of Progress  as if we were approaching some land”

 Our undertaking may be important or unimportant, our problem of any kind when we are working intensely, we watch eagerly for signs of progress as Columbus and his companions watched for signs of approaching land

WORK_BACKWARD

  Modern Heuristic : There are articles discussing methodical questions often important in elementary mathematics, as pappus, WORKING BACKWARDS (already quoted under 3) , reductio AD ABSURDUM AND INDIRECT PROOF, INDUCTION AND MATHEMATICAL INDUCTION, SETTING UP EQUATIONS, TEST BY DIMENSION, and WHY PROOFS

 Analysis is neatly defined by pappus, and it is a useful term, describing a typical way of devising a plan, starting from the unknown (or the conclusion) and working backwards, toward the data (or the hypothesis)

LOOK_UNKNOWN

 There are, however, questions and suggestions which are frequently helpful, as look at the unknown

 There is a suggestion that puts our finger on an essential common point: Look at the unknown

VARIAT_PROBLEM

 Variation of the problem may lead us to auxiliary ELEMENTS, or to the discovery of a more accessible auxiliary PROBLEM

 Variation of the problem may lead to some appropriate auxiliary problem: // you cannot solve the proposed problem, try to solve first some related problem

DECOMPOS_RECOMBIN

 Many questions aim at the variation of the problem by specified means, as going back to the definition, using analogy, generalization, SPECIALIZATION, DECOMPOSING AND RECOMBINING

 There are certain modes of varying the problem which are typically useful, as going back to the definition, DECOMPOSING AND RECOMBINING, introducing AUXILIARY ELEMENTS, GENERALIZATION, SPECIALIZATION, and the use of ANALOGY

USE_RESULT

 Using the result of the auxiliary problem we easily solve our original problem (we have to complete the parallelogram)

 We may use the result of the auxiliary problem

DRAW_FIGUR

 We start the detailed consideration of such a problem by drawing a figure containing the unknown and the data, all these elements being assembled as it is prescribed by the condition of the problem

HEURIST_REASON

 It is concerned with the nature of heuristic reasoning and, by extension, with a kind of reasoning which is nondemonstrative although important and which we shall call, for lack of a better term, plausible reasoning

 We could call the reasoning that underlies this kind of evidence "heuristic reasoning" or "inductive reasoning" or (if we wish to avoid stretching the meaning of existing terms) "plausible reasoning

BRIGHT_IDEA

 A sudden advance toward the solution is called a bright idea, a good idea, a happy thought, a brain-wave (in German there is a more technical term, Einfalt)

" Bright idea, or "good idea," or "seeing the light," is a colloquial expression describing a sudden advance toward the solution

SPECIAL_CASE

 This auxiliary problem is a special case of the original problem (the extreme special case in which one of the two ships is at rest)

INTRODUC_AUXILIARI_ELEMENT

 In general, having recollected a formerly solved related problem and wishing to use it for our present one, we must often ask: Should we introduce some auxiliary element in order to make its use possible

 We aim at such an effect when, thinking about the possible use of a formerly solved related problem, we ask: Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible

KNOW_RELAT_PROBLEM

 Setting a routine problem, the teacher thrusts under the nose of the student an immediate and decisive answer to the question: Do you know a related problem

 Let us go back to the situation as it presented itself at the beginning of section 10 when the question was asked: Do you know a related problem

ANALOG

 We may vary the problem by decomposing and RECOMBiNiNG its elements, or by going back to the definition of certain of its terms, or we may use the great resources of generalization, specialization, and analogy

Aller plus loin dans la compression de la représentation peut se faire en projetant Y sur \( X= \{ x_i, \; i<N \} \), i.e. en restreignant les \(Y_{j}^{k}\) aux \( x_i, \; i<N \), se souvenant que les \( x_i \) sont ordonnés selon leur fréquence relative. 

Plus précisément, on cherche les occurrences des  \(x_i \) dans chaque  \( \{Y_{j}^{k}, j<cut \} \), imposant donc que  \(x_i \) soit ‘proche’ de  \(x_k \) (dans les \( cut \) premiers \( \{ Y_{j}^{k} \}_j \) ). D’où une nouvelle table \( x_i \rightarrow Z^i = {x_k^i} \) où l’on ordonne sur \( \| Z^i \| \) : le concept \(x_0 \) est le plus ‘central’ en ce qu’il est le plus connecté.

On supprime ensuite les \( x_i \) quand ils se trouvent dans les \(  Z^k, \; i>k \). On choisit enfin de supprimer les \( x_i \) si 50% de \( Z^i \)  se trouvent dans un \( Z^k  \; i>k\). On obtient pour ‘How to solve it’ (partant de près de  1000 \(x_i \), cut = 10) :

On constate que la première thématique, ‘origin_problem’, contient 169 voisins, dont : 'auxiliari_problem',

 'use_result',

 'special_case',

 'simpler_analog_problem',

 'introduc_auxiliari',

 'less_ambiti',

 'restat',

 'devis',

 'reconsid',

 'tri',

 'step',

 'familiar',

 'simpler',

 'vari',

 'deriv',

 'easier',

 'auxiliari',

 'various',

 'combin',

 'passag',

 'modifi',

qui sont bien les voisins attendus de la thématique Variation-Comparaison.

On trouve aussi la thématique ‘sign_progress’, qui pointe sur ‘progress_achiev’, ‘approach_land’, mais aussi sur un versant  psychologique : ‘subconsci_work’, ‘suspect’, ‘mental’…

La thématique ‘part_condit’ renvoie à ‘decompos_recombin’, ‘general_special’, mais aussi sur ‘restat’, ‘tri’ qu’on retrouve dans le premier cluster ‘origin_problem’.

‘technic_term’ pointe sur ‘heuristic_reason’, ‘bright_idea’ ,’relat’.

‘auxiliari_element’ pointe sur 'auxiliari_problem', ‘variat_problem’,’analog’, ‘familiar’,  ‘relat’, et semble donc assez proche de ‘origin_problem’.

Autre cluster intéressant ‘plausibl_reason’ pointe sur 'heurist_reason', 'point_view', 'heurist_syllog', 'induct', 'infer'.

On obtient un peu plus de clusters avec cut = 5 :

Utilisant le logiciel de représentation de graphe et clustering Delphi , on retrouve essentiellement les mêmes résultats. ci dessous la partie haute puis basse du même graphe.