Il est assez frappant qu'un concept général de nombre ne transparaisse pas plus clairement dans la transmission des mathématiques.
Il y a ces nombres entiers , ou rationnels ou ... etc, et puis soudain il y a des symétries - omniprésentes, nous dit on (p 41). Et rien entre ?
Le concept de symétries est une nébuleuse. On passerait ainsi des 'nombres' entiers , un concept relativement clair (pour un humain au moins) aux symétries, un concept certes moins évident.
Tentons un détour.
Un schéma de croissance conceptuelle est juste chain growth :
a ⤴b⤴c...
Dans le cas qui nous occupe, je propose:
entiers ⤴group⤴cat < nombre < classif_comput < symétries
(où bien sûr un mathématicien pourra lire l'inclusion à la place de ⤴)
Deux exemples importants justifient entiers ⤴group < nombre < classif_comput
- les théories de Galois, qui introduisent les groupes de permutations dans toutes les situations d'ambiguïté
- le foncteur (contravariant) cohomologie, Top→Abelian Group
Et donc là où les entiers ne mesurent - ne classifient - que des cardinaux, les groupes classifient plus finement des structures complexes comme des espaces topologiques. Le prix à payer est une moindre agilité computationnelle, c'est-à-dire moins de ... symétries.
Restent les catégories ... des monstres, si l'on y admet les n-catégories (faisceaux...). Ici on peut notamment penser au topos et à la théorie de Caramello : les topos classifient des ... théories.
L'agilité computationnelle des catégories est typiquement celle d'une ... base de données, puisque celle-ci n'est jamais qu'un C-set foncteur.
Les topos nous dit-on généralisent les ensembles, et jouissent donc de toutes leurs symétries ou presque : toutes les co/limites, exponentielle, inclusion...
Que signifie
nombre < classif_comput < symétries ?
'nombre' - le concept vulgaire - est promu nombre : classif_comput, et symétries prend un peu de 'contenu' tangible : il contient classif_comput ...
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