Natural Transformation : coordination

Les transformations naturelles sont les morphismes \( \alpha \) de la catégorie de foncteurs \( [\cal{C},\cal{D}]\), c'est -à-dire que si \(F,G \) sont des foncteurs \(\cal{C} \rightarrow \cal{D}\), et si \(f\) et \(\alpha_X\) sont des morphismes dans  \(\cal{C}\) et \(\cal{D}\) : \(X \xrightarrow{\mathit{f}} Y\), \( F(X) \xrightarrow{\mathit{\alpha_X}} G(X)\), on a le diagramme commutatif suivant  :

\(\alpha\) représente par exemple une coordination (réussie) des 2 'systèmes de représentations' \(F\) et \(G\) : si on imagine que \(\cal{C}\) représente des variations exogènes, c'est-à-dire que \(X \xrightarrow{\mathit{f}} Y\) représente une transition exogène qui entraîne une transition correspondante \(F(X) \xrightarrow{\mathit{f}} F(Y)\) pour le 'système' \(F\) et \(G(X) \xrightarrow{\mathit{f}} G(Y)\) pour le 'système' \(G\). Et donc au grès d'une chaîne de transitions  \(X \xrightarrow{\mathit{f}} Y\xrightarrow{\mathit{g}} Z...\xrightarrow{\mathit{h}} X...\) au départ de \(X\), \(F\) parcours \(F(X) \xrightarrow{\mathit{F(f)}} F(Y)\xrightarrow{\mathit{F(g)}} F(Z)...\xrightarrow{\mathit{F(h)}} F(X)...\) , et \(G\) parcours \(G(X) \xrightarrow{\mathit{G(f)}} G(Y)\xrightarrow{\mathit{G(g)}} G(Z)...\xrightarrow{\mathit{G(h)}} G(X)...\). 

Et donc même si \(F\) et \(G\) sont coordonnés sur le départ : \( F(X) \xrightarrow{\mathit{\alpha_X}} G(X)\), il n'est pas sûr qu'après la transition  \(h\) on puisse encore écrire le même morphisme \(\alpha_X\). (penser au cas où \(\cal{D}=Set\), et où donc les \(F(f)\)...etc sont des fonctions)

Considérons un cas intéressant et simple: celui de deux systèmes dynamiques : on a un seul objet dans \(\cal{C}\), \(0\), et des morphismes \(a,b,...\) qui correspondent à des 'changements exogènes'. ici on peut par exemple interpréter \(F(0) = \{0,1,2\}\) comme un système d'"états internes" de Mr. F, et \(G(0) = \{0,1A,1B,1C,2A,2B\}\) comme un système d'"états internes" de Mrs. G. 

Supposons qu'une longue série de \(a\) survienne, de sorte que Mr et Mrs se retrouvent dans les états successifs \(F(a^n)(f0)\) (resp \(G(a^n)(g0)\). Ils ont ainsi l’occasion de se mettre d'accord (si du moins cela est possible, donc en fait si effectivement leurs états internes sont \(\alpha\)-compatible) sur un 'dictionnaire' de leurs états internes :\( F(0) \xrightarrow{\alpha_a} G(0)\). Si par la suite une série de \(b\) survient, rien n’empêche qu'il y ait incompatibilité !

[D. Spivak, Category theory for the sciences] \( F, G\):